Уравнение Пуассона и Лапласа

Потенциал и напряженность электрического поля диполя

 

Рассмотрим систему из двух разноименных, но равных по абсолютной величине точечных зарядов, находящихся на расстоянии l. Ее электрическим моментом является вектор

 

где q – абсолютная величина каждого заряда,

– вектор с абсолютным значением l и направленный от положительного заряда к отрицательному.

Поле этой системы будем исследовать на расстояниях r, значительно превышающих ее размер

r >> l.

Потенциал диполя в произвольной точке М равен

 

Полагая в соответствии с рисунком,

r1r2→r2 и r1 – r2 → l∙cos(θ),

находим:

 

 

Теперь по формуле можно определить поле диполя . Это проще всего сделать, пользуясь сферической системой координат

получаем

Рис.2.12
Е0
Еr
 
 

Как и следовало ожидать, поле диполя симметрично относительно его оси. Силовые линии поля в меридиональной плоскости изображены на рисунке.

 

 

Расчет электростатических полей с использованием уравнений и возможен только в простейших случаях. Наиболее общим методом является расчет электро­статических полей на основе решения уравнений Пуассона и Лапласа относительно потенциала. Выве­дем эти уравне­ния.

Ранее было получено . Тогда:

, откуда следует:

 

или

. (2.5)

 

Уравнение (2.5) называется уравнением Пуассона. – Лапласиан.

В декартовой системе координат может быть представлено в форме

.

 

Уравнение Пуассона справедливо для тех точек среды, где существуют объемные за­ряды .

Решение уравнения Пуассона в общем виде можно найти следующим образом. Положим, что в объеме V есть объемные r заряды. Эти заряды представим в виде совокупности точечных зарядов: rdV, где dV – элемент объема. Составляющая потенциала dj электрического поля от элементарного заряда rdV равен

.

Значение j определяется как сумма (интеграл) их потенциала от всех зарядов поля:

 

Предполагается, что потенциал на бесконечности равен нулю и заряды, создающие поля распределены в ограниченной области (иначе интеграл может оказаться расходящимся).

В реальных условиях свободные заряды располагаются на поверхности проводников бесконечно тонким слоем.

В диэлектриках, которыми разделены заряженные проводники, объемные заряды от­сутствуют , уравнение Пуассона в диэлектрике превращается в уравнение Лапласа:

 

или

.