Электрический потенциал

Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме

Для электростатического поля имеем:

или .

или , .

Ротор вектора характеризует его вихри в пространстве. Равенство озна­чает, что электростатическое поле является безвихревым, т.е. потенциальным.

В декартовой системе координат операция записыватся так:

.

- интегральная форма записи теоремы Гаусса в обобщенной форме гласит, что поток вектора элек­трического смещения сквозь замкнутую поверхность S равен ал­гебраической сумме сво­бодных зарядов, расположенные внутри поверхности S.

Для однородной среды , тогда .

По теореме Остроградского перейдем к дифференциальной форме урав­нения теоремы Гаусса:

― дифференциальная форма теоремы Гаусса.

Дивергенция вектора характеризует его истоки в пространстве, следо­вательно, ли­нии вектора начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.

Истоком вектора в отличие от истока вектора являются не только свободные ρ, но и связанные заряды.

В декартовой системе координат операция div запишется так:

.

Для однородной среды , тогда .

Равенство озна­чает, что электростатическое поле является безвихревым, т.е. потенциальным. Учитывая, что

,

приходим к следующему выводу, что для электростатического поля можно найти некоторую скалярную функцию такую, что

. (2.1)

Скалярная функция называется потенциальной функцией, или просто потенциалом.

Потенциал можно выразить через напряженность электростатического поля с точностью до постоянной:

. (2.2)

Запишем формулу, определяющую напряжение между двумя произвольными точками поля а и p:

. (2.3)

Напряжение между двумя произвольными точками равно работе (энергии), затраченной полем на перемещение единичного положительного заряда из одной точки в другую.

В потенциальном поле напряжение равно разности потенциалов.

Полагая потенциал некоторой фиксированной точки p поля равным нулю ( ), получим:

.

Потенциал некоторой точки есть работа (энергия), затрачиваемая полем на перемещение единичного положительного заряда из данной точки в фиксированную точку, где потенциал принят равным нулю

. (2.4)

В электротехнике за базовую точку с заданным нулевым потенциалом принимают “землю”, а при отсутствии заземления - любую точку.

Потенциал является энергетической характеристикой поля.

Напряженность электрического поля определяется как градиент потенциала

где - оператор пространственного дифференцирования.