Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга
Энергия электромагнитного поля.
Плотность энергии электрического поля определяется как
.
Плотность энергии магнитного поля имеет вид
.
Плотность энергии электромагнитного поля может быть представлена как
.
Энергия электромагнитного поля в объеме
,
Для однородных изотропных сред ( , , ) имеем:
,
,
что при подстановке в (3.31) дает
.
Вектор Пойнтинга.
Векторное произведение обозначим через Вектор называют вектором Пойнтинга, он одновременно характеризует электрическое и магнитное поля и имеет размерность поверхностной плотности мощности – . Вектор Пойнтинга образует с векторами и правую тройку, или правоходовую систему (рис.1.3).
Рис.1.3
Теорема Умова-Пойтинга математически выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле. Теорема представляет собой своеобразное уравнение энергетического баланса в теории поля подобно уравнению баланса мощностей в электрических цепях.
Выделим в переменном электромагнитном поле некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. Внутри выделенного объема могут оказаться частично или полностью источники и приемники электрической энергии в любых сочетаниях. Будем считать среду однородной и изотропной. Электромагнитное поле внутри объема описывается системой уравнений Максвелла:
, (1.7)
, ( 1.8)
. ( 1.9)
Здесь - вектор стороннего электрического поля (внутри источников электрической энергии).
Умножим скалярно уравнение (1.7) на , уравнение (1.8) на , и вычтем почленно левые и правые части уравнений:
.
Из курса математики известно, что
Преобразуем правые части уравнения. Из закона Ома (1.9) следует:
;
.
После преобразования получим:
Проинтегрируем все члены полученного уравнения по выделенному объему V:
Исследуем каждое слагаемое уравнения. По теореме Остроградского-Гаусса:
,
где - вектор Пойнтинга [Вт/м ], численно равный плотности потока мощности в рассматриваемой точке;
- мощность тепловых потерь или потребляемая мощность в заданном объеме, эта мощность всегда положительна;
- мощность источников энергии внутри объема, эта мощность отрицательна, если векторы и совпадают, и положительна, если эти векторы не совпадают;
- мощность электромагнитного поля, она положительна, если идет процесс накопления энергии в объеме, и отрицательна, если идет процесс возврата энергии.
Таким образом, после принятых обозначений теорема Умова-Пойтинга получит вид:
.
Формулировка теоремы Умова-Пойтинга:
небаланс мощности в заданном объеме V компенсируется потоком вектора Пойнтинга, направленным внутрь объема (знак -) через замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем.
Вектор Пойнтинга характеризует величину и направление энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади в направлении вектора Пойнтинга.
Теорема Умова–Пойнтинга имеет большое прикладное значение, поскольку позволяет получить информацию о процессе передачи энергии от источника к приемнику.