Физический и геометрический смысл производной. Касательная и нормаль плоской кривой

Понятие производной мы ввели исходя из физических соображений. Отсюда следует физический смысл: производная функции в точке есть скорость изменения функции в точке.

Производная функции в точке определяется числом, однако, при переходе от точки к точке она изменяется, следовательно, производная на промежутке есть функция того же аргумента, что и функция.

Приведем еще один пример.

Пусть определяет количество электричества , протекающего через поперечное сечение проводника за время (- начало отсчета). В таком случае будет определять силу тока, проходящего через поперечное сечение проводника в момент времени .

Геометрический смысл.

Рассмотрим график функции .

Пусть точка соответствует фиксированному значению аргумента , а точка , где - некоторое приращение аргумента.

Прямую будем называть секущей. Через , обозначим угол, образованный секущей с осью .

0.3.1. Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке по графику функции (что тоже самое, при ).

Из рисунка видно, что

(2)

т.к. при , секущая , переходит в касательную, то

(3)

где - угол между касательной и осью .

С другой стороны из (1)

(4)

Левые части (3) и (4) равны, следовательно, равны и правые, т.е.

.

0.3.2. Тангенс угла наклона прямой к оси называется угловым коэффициентом прямой.

Геометрический смысл.

Производная функция в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

В разделе «Алгебра и геометрия» уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (угол наклона) имеет вид:

,

где - угловой коэффициент прямой.

Используя геометрический смысл производной получим уравнение касательной:

0.3.3. Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной называется нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямых на плоскости получим уравнение нормали: .