ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Лекция 15

Примером конструкции, все точки которой находятся в плоском напряженном состоянии, может служить тонкая пластинка, нагруженная по торцам силами, которые лежат в ее плоскости. Поскольку боковые поверхности пластинки свободны от напряжений, то в силу малости ее толщины можно считать, что и внутри пластинки на площадках, параллельных ее поверхности, напряжения пренебрежимо малы. Подобная ситуация возникает, например, при нагружении валов и балок тонкостенного профиля.

В общем случае, говоря о плоском напряженном состоянии, мы имеем в виду не всю конструкцию, а только рассматриваемую точку ее элемента. Признаком того, что в данной точке напряженное состояние является плоским, служит наличие проходящей через нее площадки, на которой отсутствуют напряжения. Такими точками будут, в частности, точки свободной от нагрузок внешней поверхности тела, которые в большинстве случаев и являются опасными. Отсюда понятно внимание, которое уделяется анализу этого вида напряженного состояния.

При изображении элементарного параллелепипеда, находящегося в плоском напряженном состоянии, достаточно показать одну из его ненагруженных граней, совместив ее с плоскостью чертежа (рис. 15.1).Тогда нагруженные грани элемента совместятся с границами показанной площадки. При этом система обозначений для напряжений и правила знаков остаются прежними – изображенные на рисунке компоненты напряженного состояния положительны. С учетом закона парности касательных напряжений

t_xy = t_yx, плоское напряженное состояние (ПНС) описывается тремя независимыми компонентами - s_x, s_y, t_xy..

НАПРЯЖЕНИЯ НА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Выделим из элемента, изображенного на рис. 15.1, треугольную призму, мысленно разрезав его наклонным сечением, перпендикулярным плоскости чертежа xOy. Положение наклонной площадки и связанных с ней осей x₁, y₁ зададим с помощью угла a, который будем считать положительным при повороте осей против часовой стрелки.

Рис. 15.2

Как и для описанного выше общего случая, показанные на рис. 15.2, напряжения можно считать действующими в одной точке, но на различно ориентированных площадках. Напряжения на наклонной площадке найдем из условия равновесия призмы, выразив их через заданные напряжения s_x, s_y, t_xy на гранях, совпадающих с координатными плоскостями. Обозначим площадь наклонной грани dA, тогда площади координатных граней найдутся так:

dA_x= dA cos a,

dA_y= dA sin a.

Спроектируем действующие на гранях призмы силы на оси x₁ и y_1:

Сократив на общий множитель dA, и выполнив элементарные преобразования, получим

,

(15.1)

Если учесть, что

выражениям (15.1) можно придать следующий окончательный вид:

(15.2)

Рис. 15.3

На рис. 15.3 вместе с исходным показан бесконечно малый элемент, ориентированный по осям x₁,y₁. Напряжения на его гранях, нормальных к оси x₁, определяются формулами (15.2). Чтобы найти нормальное напряжение на грани, перпендикулярной к оси y₁, необходимо вместо угла a подставить значение a + 90°:

(15.3)

Касательные напряжения и в повернутой системе координат x₁y₁ подчиняются закону парности, т. е.

Сумма нормальных напряжений, как известно из анализа объемного напряженного состояния, является одним из его инвариантов и должна оставаться постоянной при замене одной системы координат на другую. В этом легко убедиться, сложив нормальные напряжения, определяемые из формул (15.2), (15.3):

(15.4)

ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Ранее мы установили, что площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками, а напряжения на них – главными напряжениями. При плоском напряженном состоянии положение одной из главных площадок известно заранее – это площадка, на которой нет напряжений, т.е. совмещенная с плоскостью чертежа (см. рис.15.1). Найдем перпендикулярные ей главные площадки. Для этого положим равным нулю касательное напряжение в (15.1), откуда получим

(15.4)

Угол a₀ показывает направление нормали к главной площадке, или главное направление, поэтому его называют главным углом. Поскольку тангенс двойного угла является периодической функцией с периодом p/2 , то угол

a₀ + p/2 – тоже главный угол. Таким образом, всего имеется три главных площадки, причем все они взаимно перпендикулярны. Исключение составляет лишь случай, когда главных площадок не три, а бесконечное множество – например, при всестороннем сжатии, когда любое выбранное направление является главным, а напряжения одинаковы на всех проходящих через точку площадках.

Для нахождения главных напряжений можно воспользоваться первой из формул (15.2), подставляя вместо угла a последовательно значения a₀ и

a₀ + p/2:

(15.5)

Здесь учтено, что

, .

Тригонометрические функции из выражений (15.5) можно исключить, если использовать известное равенство

, а так же учесть формулу (15.4). Тогда получим

(15.6)

Знак плюс в формуле соответствует одному из главных напряжений, минус – другому. После их вычисления можно воспользоваться принятыми обозначениями для главных напряжений s₁,s₂,s₃, учитывая, что s₁ – алгебраически наибольшее, а s₃ – алгебраически наименьшее напряжение. Иными словами, если найденные по выражениям (15.6) оба главных напряжения окажутся положительны, мы получим

Если оба напряжения будут отрицательны, будем иметь

Наконец, если выражение (15.6) даст значения напряжений с разными знаками, то главные напряжения будут равны

НАИБОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Если мысленно поворачивать оси x₁y₁ и связанный с ними элемент (см. рис. 15.3), напряжения на его гранях будут меняться, и при некотором значении угла a нормальное напряжение достигнет максимума. Поскольку сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках остается величиной постоянной, то напряжение будет в этот момент наименьшим.

Чтобы найти это положение площадок, нужно исследовать на экстремум выражение , рассматривая его как функцию аргумента a:

Сравнив выражение в скобках с (15.2), приходим к выводу, что на искомых площадках равны нулю касательные напряжения. Таким образом, нормальные напряжения достигают экстремальных значений именно на главных площадках.

Чтобы найти наибольшее по величине касательное напряжение, примем в качестве исходных главные площадки, совместив оси x и y с главными направлениями. Формулы (15.1), в которых угол a будет теперь отсчитываться от направления s₁ , получат вид:

,

(15.7)

Из последнего выражения следует, что касательные напряжения достигают наибольших значений на площадках, повернутых к главным на 45°, когда

sin 2a = ±1 . Их максимальное значение при этом равно

(15.8)

Отметим, что формула (15.8) справедлива и в том случае, когда

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ. КРУГИ МОРА

Формулы (15.7), по которым определяются напряжения на площадке, повернутой на некоторый угол α по отношению к главной, имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Считая для определенности оба главных напряжения положительными, введем следующие обозначения:

Тогда выражения (15.7) приобретут вполне узнаваемый вид параметрического уравнения окружности в координатах σ и τ :

,

. (15.9)

Индекс “ α “, в обозначениях подчеркивает, что напряжения находятся на площадке, повернутой к исходной на этот угол. Величина а определяет положение центра окружности на оси σ; радиус окружности равен R . Изображенная на рис. 15.5 круговая диаграмма напряжений по сложившейся традиции называется кругом Мора, по имени предложившего ее известного немецкого ученого Отто Мора (1835 – 1918 г.г.). Направление вертикальной оси выбрано с учетом знака τ _α в (15.10). Каждому значению угла α соответствует изображающая точка K (σ_α, τ_α ) на окружности, координаты которой равны напряжениям на повернутой площадке. Взаимно перпендикулярным площадкам , у которых угол поворота отличается на 90˚, соответствуют точки K и K’, лежащие на противоположных концах диаметра.

Рис. 15.4

Здесь учтено, что

,

поскольку формулы (15.2) и (15.7) при изменении угла на 90⁰ дают знак касательного напряжения в повёрнутой системе координат, у которой одна из осей совпадает по направлению с исходной осью, а другая противоположна по направлению (рис. 15.5)

Рис. 15.5

Если в качестве исходных площадок выступают главные, т.е. известна величина σ₁ и σ_{2 ,} круг Мора легко строится по точкам 1 и 2. Луч, проведённый из центра круга под углом 2a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку, координаты которой равны искомым напряжениям на повёрнутой площадке. Однако, удобнее пользоваться так называемым полюсом круга, направляя из него луч под углом a. Из очевидного соотношения между радиусом и диаметром круга, полюс, обозначаемый на чертеже буквой A, будет в данном случае совпадать с точкой 2. В общем случае полюс находится на пересечении нормалей к исходным площадкам. Если исходные площадки не являются главными, круг Мора строится следующим образом: на плоскость σ - t наносятся изображающие точки K (σ_x,t_xy) и K’(σ_y,-t_xy), соответствующие вертикальной и горизонтальной исходным площадкам. Соединяя точки прямой, в пересечении с осью σ находим центр круга, после чего строится сама круговая диаграмма. Пересечение окружности с горизонтальной осью даст значение главных напряжений, а радиус будет равен наибольшему касательному напряжению. На рис. 15.7 показан круг Мора, построенный по исходным площадкам, не являющимся главными. Полюс A находится на пересечении нормалей к исходным площадкам KA и K’A. Луч AM, проведённый из полюса под углом a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку M(σ_a,t_a), координаты которой представляют собой напряжения на интересующей нас площадке. Лучи, проведённые из полюса в точки 1 и 2, покажут главные углы a₀ и a₀+90⁰. Таким образом, круги Мора являются удобным графическим средством анализа плоского напряжённого состояния.

Пример 15.1 Круги Мора для некоторых простых видов нагружения.

Пример 15.2 На гранях элемента, находящегося в ПНС заданы напряжения

Определить: a) главные напряжения и положения главных площадок;

б) напряжения в элементе, повёрнутом к исходному на 45⁰;

в) наибольшие касательные напряжения.

1. Аналитическое решение.

а) По формуле (15.4) определим положение главных площадок:

;

Величина главных напряжений может быть найдена по (15.6)

б) Напряжение на грани элемента, повёрнутого на 45⁰, найдём по (15.1)

МПа.

50 МПа

Нормальное напряжение на перпендикулярной площадке

(a = 45⁰+90⁰) будет равно

МПа

в) Наибольшие касательные напряжения найдём по (15.8 )

2. Графическое решение.

Построим круг Мора по изображающим точкам K (160,40) и K’ (60, -40)

Полюс круга A найдем на пересечении нормалей к исходным площадкам.

Круг пересечёт горизонтальную ось в точках 1 и 2. Точка 1 соответствует главному напряжению σ₁=174 МПа, точка 2 – значению главного напряжения σ₂ = 46 МПа. Луч, проведенный из полюса A через точки 1 и 2, покажет значение главных углов. Напряжения на площадке, повёрнутой на 45⁰ к исходной, равны координатам изображающей точки M, находящейся на пересечении окружности с лучом, проведенным из полюса A под углом 45⁰. Как видим, графическое решение задачи анализа напряжённого состояния совпадает с аналитическим.