СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Статически неопределимыми называются системы, для которых внешние реакции и внутренние силовые факторы не могут быть определены только из уравнений равновесия твёрдого тела. В таких системах связей больше, чем необходимо для равновесия. Таким образом, часть связей в этом смысле является как бы лишними, а усилия в них – лишними неизвестными. По числу лишних связей Λ устанавливают степень статической неопределимости С:

С = Λ.

Остановимся подробнее на этом вопросе, причём основное внимание уделим балкам и плоским рамам, у которых все стержни и действующая нагрузка лежат в одной плоскости.

Плоская система обладает тремя степенями свободы. Следовательно, на неё необходимо наложить как минимум три связи, чтобы она не могла перемещаться как жёсткое целое. Эти три связи являются необходимыми. Удаление хотя бы одной из таких связей превращает систему в геометрически изменяемую (механизм), т.е. в такую систему, в которой перемещения её точек или элементов возможны без деформации стержней. Реакции необходимых связей могу быть найдены с помощью уравнений равновесия.

Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют лишней. При удалении лишней связи система остаётся геометрически неизменяемой, т.е. такой, в которой перемещения точек или элементов возможны только за счёт деформации стержней.

На рис. 12.1,а показана двухопорная балка – система статически определимая и геометрически неизменяемая. Все три реакции R_A, H_A, R_B определяются из трёх уравнений равновесия плоской системы сил. Используя метод сечений, легко найти силовые факторы Q_y, M_x в любом сечении балки.

Добавив ещё одну связь, например шарнирно-подвижную опору в сечении С (рис.12.1,б), получаем один раз статически неопределимую систему.

На рис. 12.2,а показана дважды статически неопределимая балка, полученная из статически определимой системы (рис.12.2,б) в результате установки двух шарнирно-подвижных опор в сечениях В и С.

Рис. 12.1

Рис. 12.2

На рис. 12.3 показана дважды статически неопределимая плоская рама. В этом случае для определения пяти реакций внешних связей имеем только три уравнения равновесия.

Таким образом, степень статической неопределимости можно найти как разность между числом неизвестных усилий N и числом независимых уравнений равновесия Y, которых можно составить для их нахождения:

С = N-Y. (12.1)

Рис.12.3

Статическая неопределимость может быть результатом не только введения дополнительных связей, но также и условием образования системы. Примером может служить рама, изображённая на рис. 12.4,а, в которой реакции опор R_A, H_A, R_B определяются из трёх уравнений равновесия, но последние не позволяют найти все силовые факторы в её элементах. Разрежем раму на две части и рассмотрим равновесие одной из них (рис.12.4,б). Действие отброшенной части заменяем в каждом сечении разреза тремя силовыми факторами: продольной силой N, поперечной силой Q_y и изгибающим моментом М_х. Таким образом, из трёх уравнений равновесия надлежит определить шесть неизвестных усилий, т.е.

С = 6 - 3 = 3.

Рассмотренная рама трижды статически неопределима за счёт наличия одного замкнутого контура, который имеет три лишние внутренние связи. Обобщая, можно сказать, что замкнутый плоский контур трижды статически неопределим внутренним образом.

Рис. 12.4

Установка шарнира на оси стержня (одиночный шарнир) (рис. 12.5,а) снимает одну внутреннюю связь, обращая в нуль изгибающий момент в данном сечении, и, следовательно, снижает степень статической неопределимости на единицу. Очевидно рама, показанная на рис. 12.5,а пять раз статически неопределима (три раза внешним образом, два – внутренним).

Шарнир, включённый в узел (общий шарнир), где сходятся m стержней (рис. 12.5,б) снижает степень статической неопределимости на (m-1), так как заменяет собой столько же одиночных шарниров (рис. 12.5,б).

Степень статической неопределимости плоских систем может быть определена по формуле

, (12.2)

где к – число замкнутых контуров в предположении полного отсутствия шарниров;

ш – число шарниров в пересчёте на одиночные.

Основание рассматривается как стержень бесконечной жёсткости.

Так, например, рама, показанная на рис. 12.4 имеет к= 3,

ш = 1+2+1+1+1=6, следовательно С = 3×3-6 = 3.

Рис. 12.5

МЕТОД СИЛ. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАСЧЁТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

Для раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем широко применяется метод сил, в котором в качестве неизвестных принимают усилия лишних связей.

Для определения неизвестных усилий дополнительно к уравнениям статики составляют уравнения совместности деформаций.

Лишние связи накладывают определённые ограничения на перемещения тех сечений, к которым они приложены. Это обстоятельство и используют для составления дополнительных уравнений, которые вместе с уравнениями равновесия позволяют определить все внутренние силовые факторы в элементах системы.

Рассмотрим этапы расчёта статически неопределимой системы методом сил:

1. Устанавливаем степень статической неопределимости.

2. Отбрасывая лишние связи и заданную нагрузку, заменяем исходную систему статически определимой, называемой основной системой.

3. Загружая основную систему заданной внешней нагрузкой и лишними неизвестными усилиями X₁, X₂,…,X_n, получаем эквивалентную систему.

4. Эквивалентная система должна удовлетворять следующим условиям: перемещения сечений, в которых приложены неизвестные усилия, по направлению их действия отсутствуют.

Записывая указанные условия в аналитической форме, получаем дополнительные уравнения неразрывности деформаций (уравнения перемещений):

(12.3)

Здесь Δ_i – перемещение в направлении усилия Х_i.

Определить перемещения соответствующих сечений основной системы можно любым способом, однако лучше всего общими методами – интегралом Мора или способом Верещагина.

Из уравнений (12.3) определяем значения лишних неизвестных Х₁, Х₂,…Х_n.

5. Найдя лишние неизвестные усилия, определение реакций опор и построение окончательных эпюр внутренних силовых факторов, а также расчёт на прочность проводим обычным способом.

ВЫБОР ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ

Для одной и той же статически неопределимой системы можно подобрать несколько основных систем. При этом нужно следить за тем, чтобы каждая из них была геометрически неизменяемой. Рациональный выбор основной системы упрощает расчёт.

Отметим, что удаление лишних связей можно производить:

а) отбрасыванием опорных стержней;

б) проведением разрезов, причём каждый разрез стержня, жёстко прикреплённого к узлам, равносилен отбрасыванию трёх внутренних связей;

в) включением шарниров (одиночных и общих).

Например, для рамы, показанной на рис. 12.6,а, можно предложить основные системы б, в, г, д, которые получены путём отбрасывания трёх лишних связей в различных комбинациях. Пятый вариант (рис.12.6,е) не может быть принят к расчёту, так как в этом случае система является геометрически изменяемой.

Рис. 12.6

Во всех случаях через Х₁ ,Х₂ ,Х₃ обозначены соответствующие лишние неизвестные.

На рис. 12.7,а показана многопролётная неразрезная балка.

Неразрезными называют балки, лежащие более чем на двух опорах и не имеющие промежуточных шарниров. Такие балки широко применяются в различных строительных конструкциях.

Рис. 12.7

Число лишних связей в неразрезных балках равно числу промежуточных опор. Если крайняя опора выполнена в виде защемления, то степень статической неопределимости увеличивается на единицу по сравнению с шарнирной опорой.

Для получения основной системы можно освободиться от всех промежуточных опор, заменив их действие неизвестными реакциями Х₁, Х₂, Х₃ (рис. 12.7,б). Однако можно построить основную систему постановкой шарниров в сечениях над всеми промежуточными опорами. В этом случае основная система представляет собой четыре отдельные шарнирно опертые по концам балки (рис.12.7,в). Здесь лишними неизвестными Х₁, Х₂, Х₃ являются изгибающие моменты в опорных сечениях балки. Отметим, что с точки зрения упрощения расчёта основная система для неразрезной балки, полученная путём врезания шарниров над промежуточными опорами, всегда более предпочтительнее по сравнению со всеми другими вариантами.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ

Дополнительные уравнения перемещений (12.3), выражающие равенство нулю перемещений по направлениям лишних неизвестных, удобно составлять в канонической форме, т.е. по определённой закономерности. Покажем это на примере решения дважды статически неопределимой системы, изображённой на рис. 12.8,а.

Выберем в качестве основной системы раму, защемлённую одним концом. Тогда, нагрузив основную систему заданными внешними силами и лишними неизвестными Х₁, Х₂, получим эквивалентную систему (рис. 12.8,б).

Рис. 12.8

Дополнительные уравнения перемещений сечения А имеют вид

где - полное перемещение точки А по направлению Х₁ (горизонтальное) от заданной нагрузки и лишних неизвестных усилий Х₁, Х₂;

- полное перемещение точки А по направлению Х₂ (вертикальное) от указанных нагрузок.

На основании принципа независимости действия сил запишем

(12.4)

Здесь Δ_iF – перемещение по направлению i-го, неизвестного, вызванное заданной внешней нагрузкой F (грузовое перемещение);

Δ_ik – перемещение в том же направлении, вызванное действием силы Х_k.

Перемещение Δ_ik удобно записать следующим образом:

где δ_ik – перемещение по направлению i-го неизвестного, вызванное действием единичной силы (удельное перемещение).

Тогда

Таким образом, уравнение (12.4) принимают вид

(12.5)

Это каноническая форма уравнений перемещений для системы, два раза статически неопределимой.

По аналогии можно записать систему канонических уравнений метода сил для любой n раз статически неопределимой системы:

(12.6)

Перемещения Δ_iF и δ_ik чаще всего определяют методом Мора или способом Верещагина. При этом для балок и рам влиянием поперечных и продольных сил обычно пренебрегают и учитывают лишь изгибающие моменты.

Для определения перемещений необходимо нагрузить основную систему заданной внешней нагрузкой и найти изгибающие моменты М_F. Затем основную систему поочерёдно нагружают единичными силами и определяют изгибающие моменты .

Тогда с помощью интеграла Мора находят

Удельные перемещения, имеющие одинаковые индексы, определяют следующим образом:

Очевидно, что эти перемещения положительны.

Удельные перемещения, имеющие неодинаковые индексы, определяют по формулам

Они могут быть положительными или отрицательными, а также равными нулю.

На основании теоремы о взаимности перемещений

.

Буквенный вид канонических уравнений остаётся неизменным при любом возможном варианте основной системы. Изменяется лишь смысл лишних неизвестных и геометрический смысл перемещений. Например, для балки, показанной на рис. 12.7,а при расчёте по первому варианту основной системы (рис. 12.7,б), когда лишними неизвестными являются реакции опор, канонические уравнения выражают равенство нулю вертикальных перемещений опорных сечений. В том случае, когда лишними неизвестными являются изгибающие моменты над промежуточными опорами (рис. 12.7,в), аналогичные уравнения означают, что взаимные углы поворота сечений над промежуточными опорами должны быть равны нулю.

Важно отметить, что при выводе не оговаривалось то, каким образом возникают перемещения Δ_iF и Δ_ik . Поэтому система канонических уравнений (12.6) применима для любых видов нагружения стержневых систем.

КОНТРОЛЬ ПРАВИЛЬНОСТИ РАСКРЫТИЯ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ

Окончательные эпюры внутренних силовых факторов подлежат обязательной проверке. Проверяют при этом условия равновесия (статическая проверка) и условия неразрывности деформаций (деформационная проверка).

Для статической проверки следует вырезать узел или какую-либо часть системы и удостовериться в выполнении условий равновесия, т.е. равенства нулю суммы проекций или моментов всех внешних и внутренних сил, приложенных к этой части:

При этом нужные величины следует брать непосредственно из окончательных эпюр. Отметим, что статическая проверка не является достаточной.

Общим контролем является деформационная проверка. Так как в заданной статически неопределимой системе перемещение по направлению любой лишней связи равно нулю, то произведение окончательной эпюры изгибающих моментов М_х на эпюру моментов любого i-го единичного состояния основной системы должно равняться нулю, т.е.

(12.7)

В качестве основной системы i-го единичного состояния лучше всего выбирать систему, не использованную при расчёте. Количество деформационных проверок должно равняться числу лишних связей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТАМАХ

После определения лишних неизвестных усилий и построения окончательных эпюр внутренних силовых факторов перемещения в статически неопределимых системах можно найти обычными способами: методом начальных параметров, интегралом Мора или способом Верещагина. Метод Мора, являющийся универсальным, обычно используют при определении перемещений в балках, рамах и фермах.

Вычисляя перемещения по формуле Мора

(12.8)

следует рассмотреть заданную систему под действием внешней нагрузки (окончательные эпюры M_x, N и Q_y). При этом единичную нагрузку мы вправе прикладывать к основной системе, так как исходная статически неопределимая система и основная статически определимая, нагруженная заданными силами и найденными лишними неизвестными, полностью тождественны по условиям работы. Заметим, что основная система может быть выбрана по любому возможному варианту.