Лекция 12
.
Взяв частную производную от этого выражения по величине F, находим
.
Несмотря на очевидную простоту, этот метод обладает существенным недостатком – он позволяет определять перемещения только тех точек, где приложены сосредоточенные нагрузки, причём перемещения должны соответствовать этим нагрузкам. Так, определить угол поворота в сечении А для рассмотренного примера не удаётся, поскольку углу поворота, как обобщённому перемещению соответствует сосредоточенный момент, а в нагрузке он отсутствует. Указанные ограничения можно обойти с помощью фиктивных нагрузок. Для этого в интересующей точке конструкции прикладывают обобщённую силу FФ, соответствующую искомому перемещению. Потенциальная энергия системы выражается через заданные нагрузки и эту фиктивную силу, затем полученное выражение дифференцируется по величине FФ, а в конечном результате полагают FФ = 0.
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ИНТЕГРАЛ МОРА
Известный из курса теоретической механики принцип возможных перемещений Лагранжа применительно к деформируемым системам можно сформулировать следующим образом: если система под действием приложенных нагрузок находится в равновесии, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях точек системы равна нулю:
(11.9)
Здесь 
- работа внешних обобщённых сил Fi на их возможных обобщённых перемещениях ΔFi; W1 – работа внутренних сил.
Внутренние силы препятствуют возникновению деформаций от нагрузки, поэтому работу этих сил следует считать отрицательной. Возможными называют перемещения, которые не противоречат наложенным на систему связям, т.е. учитывают условия закрепления конструкции.
Возможные перемещения добавляются к действительным, возникающим от приложенных нагрузок. При этом работа внутренних сил системы на этих дополнительных возможных перемещениях будет равна
(11.10)
Силы в процессе бесконечно малого изменения перемещений считаются неизменными, поэтому множитель 1/2 в выражении работ отсутствует.
Для нахождения перемещений в произвольной точке конструкции поступим следующим образом. Рассмотрим два состояния нашей системы: первое состояние, которое возникает от действия приложенных нагрузок, будем называть грузовым, все относящиеся к нему величины – внутренние силовые факторы и соответствующие им обобщённые перемещения - пометим индексом «F». Второе состояние будет вызываться фиктивной обобщённой силой 
=1 (при нахождении углового перемещения в роли такой силы будет выступать единичный безразмерный момент). Это состояние будем называть единичным. Все величины, относящиеся к единичному состоянию, пометим индексом «1».
Сформулируем принцип возможных перемещений для системы, находящейся в единичном состоянии, т.е. нагружённой фиктивной единичной силой в той точке, где нас интересует перемещение. При этом в качестве возможных перемещений возьмём обобщённые перемещения грузового состояния – т.е. действительные перемещения системы, возникшие от приложенных к ней нагрузок. Эти перемещения хотя и не являются бесконечно малыми, как того требует принцип Лангранжа, но по сравнению с размерами конструкции они малы и удовлетворяют условиям закрепления.
В соответствии с (11.1) работа фиктивной единичной силы будет равна искомому перемещению
(11.11)
Обобщённые перемещения грузового состояния системы, входящие в выражение (11.10), имеют вид
 ;
|  ;
| |
 ;
|  ;
| (11.12) |
 ;
|  .
|
Умножая внутренние усилия от единичной нагрузки на соответствующие обобщённые перемещения (11.12) и интегрируя по длине всех стержней конструкции, запишем (11.9) следующим образом
(11.13)
Полученное выражение называется интегралом Мора. Оно может быть использовано для определения перемещений в любых произвольно нагруженных упругих стержневых системах. Как говорилось ранее, не все интегралы в правой части (11.13) имеют одинаковый порядок величины. При наличии в поперечных сечениях стержней изгибающих и крутящего моментов, последние три слагаемые можно не учитывать.
В случае простых видов нагружения интеграл Мора записывается проще. Например, для системы, работающей на растяжении и сжатие, перемещение определяется так
(11.14)
Выражение (11.14) нужно понимать как сумму интегралов по длине каждого из стержней системы. Здесь Δi – перемещение точки приложения единичной фиктивной силы 
= 1 в направлении этой силы; Ni – нормальные силы в стержнях от действия единичной силы; NF – нормальные силы в стержнях системы в грузовом состоянии, т.е. от действия приложенных нагрузок.
При кручении перемещения представляют собой углы закручивания:
(11.15)
В качестве обобщённых фиктивных сил в этом случае выступают единичные скручивающие моменты 
= 1, поочерёдно прикладываемые в тех сечениях, где требуется найти угловое перемещение.
При плоском изгибе перемещения с достаточной точностью можно найти, учитывая в выражении (11.13) только изгибающий момент:
(11.16)
Индексы «F» в обозначении изгибающих моментов от нагрузки обычно опускают, также как и индекс «х» для обозначения моментов единичного состояния. Для определения прогиба в интересующей точке прикладывают сосредоточенную силу 
= 1, для нахождения угла поворота прикладывают сосредоточенный момент 
= 1. Если имеется несколько силовых участков, на каждом из которых уравнения изгибающих моментов М1i(z) и (или) Мх(z) имеют различный вид, интегрирование ведётся по каждому из участков отдельно, а результаты алгебраически суммируются:
, (11.17)
где m – число силовых участков; lj – длина j-го силового участка.
Необходимо обратить внимание на то, чтобы выделение силовых участков и выбор локальных координат zj на них было одинаковым как в грузовом, так и в единичном состояниях конструкции, т.е. внутренние усилия, стоящие под знаком интеграла, должны быть функциями одной и той же переменной.
Положительный знак результата свидетельствует о том, что перемещение происходит в направлении единичной обобщённой силы.
Пример 11.1 Определение перемещений интегралом Мора.
Для шарнирно опёртой балки постоянной жёсткости, находящейся под давлением равномерно распределённой нагрузки интенсивностью q (рис. 11.5,а), определить прогиб в середине пролёта и угол поворота сечения над опорой В.
Решение. Для определения прогиба в сечении С освобождаем балку от действия распределённой нагрузки и прикладываем в этом сечении фиктивную сосредоточенную силу 
= 1. В единичном состоянии балка имеет два силовых участка (см. рис. 11.5,б), такие же участки необходимо выделить и в грузовом состоянии балки. Запишем по участкам выражения изгибающих моментов:
I.
II.
Рис. 11.5
Записываем интеграл Мора и вычисляем прогиб:
Здесь учтено, что в силу симметрии подынтегральные выражения оказываются одинаковыми. Найденный прогиб совпадает по направлению с приложенной единичной силой.
Для нахождения угла поворота вновь рассматриваем вспомогательное состояния конструкции, возникающее под действием сосредоточенного безразмерного момента 
= 1, приложенного в сечении В ( см. рис. 11.5,в). Поскольку в этом случае, как и в грузовом состоянии, имеется только один силовой участок, интегрировать будем по переменной z1 по всей длине балки.
Результат получился положительным, следовательно поворот сечения В происходит в направлении приложенного единичного момента, т.е. против часовой стрелки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СПОСОБОМ ВЕРЕЩАГИНА
Вычисление интеграла мора можно упростить, ели конструкция состоит из прямолинейных участков постоянной жёсткости. Упрощение основано на том, что внутренние усилия, возникающие от сосредоточенных единичных обобщённых сил, являются линейными функциями продольной координаты z.
Пусть на интервале от а до b требуется взять интеграл от произведения двух функций f1(z) и f (z), причём одна из них, например f1(z) – линейна:
(11.18)
Тогда
Первый из интегралов может быть представлен графически площадью,
ограниченной кривой f(z), или, что то же самое,
Рис. 11.6 площадью эпюры этой функции w (рис. 11.6)
Второй из интегралов, входящих в выражение для J представляет собой статический момент площади w относительно оси ординат у:
,
где zцт = абсцисса центра тяжести эпюры f.
Тогда
.
Но, поскольку
окончательно получим
.
Таким образом, интегрирование произведения двух функций, одна из которых линейна, можно заменить произведением площади эпюры функции ¦ на ординату линейной функции ¦1, взятую под центром тяжести эпюры ¦. Если линейны обе функции, то безразлично, перемножаются ли площадь первой эпюры с ординатой второй, или наоборот.
Способ Верещагина состоит в применении изложенного подхода к нахождению перемещений с помощью интеграла Мора. При плоском изгибе, например, выражение для перемещений (11.17) примет вид
(11.19)
Здесь wj – площади простейших фигур, на которые разбивается эпюра изгибающих моментов Mx;
- ординаты с эпюры моментов М1i от единичной нагрузки, взятые под центрами тяжести площадей wj;
n – число простейших фигур, на которые разбивается эпюра грузовых моментов Мх.
Необходимо учесть, что перед разбиением на простейшие фигуры должны быть выделены участки постоянной жёсткости, на которых эпюра Мх не имеет разрывов, а эпюра моментов от единичной нагрузки линейна – т.е. не имеет разрывов и изломов.
В подавляющем большинстве случаев эпюры внутренних усилий можно разбить на простейшие фигуры трёх типов – прямоугольники, треугольники и сегменты квадратной параболы. Формулы для вычисления их площадей и положений центров тяжести приведено в таблице.
Таблица
| № п/п | Фигура | w | zцт |
| 1. |
| lh | l/2 |
| 2. |
| 
| 
|
| 3. |
| 
| l/2 |
Следует обратить внимание, что для последней фигуры площадь и положение центра тяжести не зависят от положения основания сегмента.
При вычислении перемещений по способу Верещагина в общем случае нагружения, выражение для интегралов Мора (11.13) приобретёт следующий вид
(11.20)
Здесь 
- площади фигур, на которые разбиваются эпюры от заданной нагрузки для соответствующих внутренних силовых факторов; 
- ординаты эпюр внутренних усилий от единичной силы под центрами тяжести соответствующих фигур.
Практическое применение способа Верещагина для нахождения перемещений состоит в следующем:
1. Строятся эпюры внутренних силовых факторов от заданной нагрузки («грузовые» эпюры).
2. Строятся эпюры внутренних силовых факторов от единичной обобщённой силы, соответствующей искомому перемещению («единичные» эпюры).
3. Конструкция мысленно разбивается на участки, на которых «грузовые» эпюры не имеют разрывов, а «единичные» эпюры линейны, т.е. не имеют разрывов и изломов.
4. На каждом из выделенных участков «грузовые» эпюры разбиваются на простейшие фигуры, для каждой из которых вычисляется площадь и положение центра тяжести.
5. Вычисляются ординаты «единичных» эпюр под центрами тяжести выделенных простейших фигур.
6. Полученные площади и ординаты попарно перемножаются, а результаты алгебраически суммируются в соответствии с (11.20). Положительный знак результата означает, что найденное перемещение совпадает по направлению с обобщённой единичной силой.
Пример 11.2. Определение перемещений способом Верещагина.
Для балки постоянной жёсткости EIx, изображённой на рис. 11.7,а, определить прогиб и угол поворота в сечении А.
Решение. Выделяем в грузовом состоянии балки два силовых участка и записываем для них уравнения внутренних силовых факторов:
I.
II.
Эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Мх приведены на рис.11.7,б.
Для нахождения прогиба в сечении А освобождаем балку от заданных нагрузок и прикладываем в указанном сечении фиктивную безразмерную силу 
= 1. Изгибающий момент М11 от этой силы в произвольном сечении z будет линейной функцией
эпюра которой представлена на рис. 11.8,в.
Разбиваем грузовую эпюру моментов на простейшие фигуры, как это изображено на рис. 11.8.
Здесь же показаны положения центров тяжести выделенных фигур и соответствующие им ординаты единичной эпюры М11. На первом участке эпюра Мх содержит три простейших фигуры – прямоугольник1, треугольник 2 и сегмент параболы 3. Площади этих фигур и соответствующие их центрам тяжести ординаты Рис. 11.8 единичной эпюры равны:
На втором участке (ВС) эпюра Мх линейна, и формально мы сразу имеем простейшие фигуры – один прямоугольный треугольник с вершиной в положительной области (Мx = 3,0 кН∙м), другой с вершиной в отрицательной
(Мx = -27,0 кН∙м). Однако длина оснований этих треугольников требует определения, что в свою очередь усложняет вычисление координат центров тяжести и соответствующих им ординат единичной эпюры. В такой ситуации применяют следующий приём: расчёты проводят с треугольниками, имеющими вершины в тех же точках, но с основаниями равными длине всего участка ВС (см. рис.11.8). Легко показать, что такая замена не влияет на результат, поскольку площади, добавленные к «положительному» и «отрицательному» треугольникам, одинаковы.
При вычислении ординат единичной эпюры на этом участке удобно эпюру М11 тоже разбить на простейшие фигуры – прямоугольник с высотой равной 1,0, и прямоугольный треугольник с высотой равной 2,0. Прогиб в точке А находим алгебраически складывая произведения найденных площадей и соответствующих им ординат (эту процедуру иногда называют «перемножением эпюр»):
Множитель 103 в ответе возникает из-за того, что нагрузки заданы в килоньютонах. Положительный результат означает, что прогиб происходит в направлении единичной силы, т.е. вниз.
В практических расчётах обычно не вычисляют площади и соответствующие им ординаты заранее, а сразу подставляют числовые значения в выражение для определения перемещений, сохраняя при этом узнаваемую структуру стандартных формул. Тогда для угла поворота в сечении А получим следующий результат, учитывая, что ординаты единичной эпюры М12 во всех сечениях одинаковы (
):
Результат вновь получился положительным, значит, поворот происходит в направлении фиктивной единичной нагрузки 
, т.е. против часовой стрелки.