Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Рассмотрим вопрос о вычислении вероятности наступления события А ровно m раз в n независимых испытаниях, когда m и n достаточно велики и выполняется условие n×p×q ³ 20.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Р_{m, n} того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, находится по формуле

(4)

где (q = 1 – p)

а функция f(x) определяется равенством

(5)

Формула (4) называется локальной формулой Муавра-Лапласа. С возрастание n относительная точность значений вероятностей Р, получаемых по ней, возрастает. Значения функции f(x), заданной формулой (5), находят по таблице. Следует также иметь в виду:

1. Функция f(x) является четной, т.е. f(–x) = f(x). Поэтому в таблице приведены значения функции (5) лишь для положительных значений аргумента.

2. Функция f(x) монотонно убывает при положительных значениях x, а предел ее при x ® ¥ равен нулю.

3. Если x > 5, то можно считать приближенно, что f(x) = 0.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях число наступлений события А окажется заключенным в границах от m₁ до m₂ включительно (m₁ < m₂), находится по формуле

P_n (m₁ < m < m₂) = Ф(x₂) – Ф(x₁) (6)

где ,

а (7)

и называется функцией Лапласа, значение которой находится по таблице.

Формула (6) называется интегральной формулой Муавра-Лапласа.. Функция Лапласа Ф(x) обладает следующими свойствами:

1. Функция Ф(x) – нечетная, т.е. Ф(–x) = – Ф(x).

2. Функция Ф(x) – монотонно возрастающая.

3. Предел функции Ф(x) при x ® ¥ равен единице.

4. Для всех значений x > 5 можно считать приближенно Ф(x) = 1.

Из интегральной теоремы Муавра-Лапласа вытекает важное для приложений следующее следствие:

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях абсолютная величина отклонения числа m наступлений события А от произведения n×p не превзойдет положительного числа e , находится по формуле

(8)

Из формулы (8) в свою очередь можно получить формулу оценки отклонения частоты m/n появления события А в n испытаниях от вероятностей р:

(9)