Формула Бернулли.
Теория вероятностей
(для студентов специальности «Информатика»)
Тема 2. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами: событие А осуществилось и не осуществилось 
, причем вероятность этих исходов не меняется от испытания к испытанию. Вероятность наступления события А в каждом испытании обозначим через р, т.е. Р(А) = р. Тогда Р(
) = 1 – р = q. Пусть m – число (частота) наступления события А в n испытаниях. Обозначим через Рm, n – вероятность того, что частота появления события А равна именно m . Эта вероятность может быть посчитана по формуле Бернулли
(1)
Числа Рm,n также интерпретируется как вероятность иметь ровно m осуществлений события А в n независимых испытаниях с двумя исходами. Вероятность того, что частота m появления события А в n испытаниях примет значение из промежутка [m1, m2] (m1 £ m £ m2) равна
(2)
Вероятность того, что событие А хотя бы один раз наступит в n испытаниях вычисляется по формуле
Р n (m ³ 1) = 1 – Р 0,n = qn
§2. Формула Пуассона.
Нередко приходится рассматривать эксперименты с большим числом испытаний. Нетрудно видеть, что для больших n и m вычисление вероятностей по формуле Бернулли представляется значительные затруднения, становятся очень громоздкими. В этом случае применяются приближенные формулы, позволяющие с достаточной степенью точности найти эти вероятности. Если число испытаний достаточно велико, а р мало и при этом произведение n×p – не больше 10, то вероятность Рm, n можно найти по формуле Пуассона
(3)
Вычисления по формуле (3) существенно упрощаются, если используются специальные таблицы.
Замечание.Вероятность того, что в испытаниях событие наступит: а) менее k раз ; б)более k раз; в)не менее k раз; г) не более k раз, – находят соответственно по формулам:
а) Р0, n + Р1, n + … + Р k–1, n.
б) Рk+1, n + Р k+2, n + … + Рn, n.
в) Рk, n + Рk+1, n + … + Рn, n.
г) Р0, n + Р1, n + … + Рk, n.