Устойчивость систем автоматического регулирования

При действии на вход объекта возмущения на его выходе появляется отклонение регулируемой величины и начинает работать автоматический регулятор. В результате в замкнутой системе протекает процесс регулирования выходной величины, или переходный процесс. Он может быть неколебательным (апериодическим), колебательным затухающим, колебательным незатухающим, с постоянной амплитудой колебаний и колебательным расходящимся с увеличивающейся амплитудой. САР, в которых происходит колебательный процесс с увеличивающейся амплитудой неработоспособны, так как с течением времени отклонение регулируемой величины от заданного значения не уменьшается, а возрастает. Такие САР называются неустойчивыми. Устойчивыми являются САР, в которых протекают только апериодические или колебательные затухающие переходные процессы. Устойчивость САР зависит от сочетания динамических характеристик объекта и регулятора.

Реакция системы на любое воздействие всегда состоит из двух составляющих

y(t) = y_c(t) + y_в(t),

где y_c(t) - переходная (свободная) составляющая, представляющая собой общее решение линейного однородного уравнения динамики системы; y_в(t)— вынужденная составляющая, частное решение линейного неоднород­ного уравнения динамики системы.

Для того чтобы система автоматического управления могла воспроизводить входной сигнал (задание) и отклонение управ­ляемой величины после подавления возмущения с течением времени уменьшалось, переходная составляющая должна стре­миться к нулю при неограниченном возрастании времени:

lim y_c(t)=0.

t →∞

Это условие является условием устойчивости, а система, удовлетворяющая ему, называется устойчивой.

Если переходная составляющая представляет собой расходящуюся функцию

lim y_c(t)= ∞ , то такая система неустойчива.

t →∞

Таким образом, анализ системы на устойчивость сводится к исследованию решения однородного линейного дифференциального уравнения, которое записывается в форме

y_c=Ae^{pi t},

где p_i — корни характеристического уравнения.

Из этого выражения следует, что переходная составляющая будет стремиться к нулю, если стремится к нулю каждая из экспонент в отдельности. Данное условие удовлетворяется, если вещественные корни характеристического уравнения (полюсы передаточной функции) отрицательны, а комплексные — имеют отрицательные вещественные части.

Системы, которые описываются уравнениями, имеющими чисто мнимые корни или корень, равный нулю, находятся на границе устойчивости. Такие системы автоматического регули­рования не пригодны для эксплуатации и поэтому обычно относятся к неустойчивым.

В графической интерпретации необходимое и достаточное условие устойчивости представляется следующим образом: система автоматического регулирования устойчива, если корни ее характеристического уравнения расположены левее мнимой оси комплексной плоскости.

Судить об устойчивости системы следует по коэффициентам уравнений. Разработаны специальные критерии, которые позволяют оценить устойчивость системы, не решая уравнений. Наиболее распространенные из них: критерий Рауса – Гурвица, критерий А.В. Михайлова, критерий Найквиста. (Примеры расчета см. в литературе 2, 3 рекомендованной к изучению темы).

Требования к САР по качеству регулирования оценивают по показателям переходного процесса при скачкообразном входном воздействии. Апериодический переходный процесс в замкнутой САР можно оценить по показателям: максимальное динамическое отклонение регулируемой величины Y₁(см. рис.18, а); остаточное отклонение регулируемой величины после окончания переходного процесса Y_ост; время процесса регулирования t_р, по окончании которого отклонение регулируемой величины от установившегося значения будет меньше заданного ∆у, определяемого требованиями к качеству регулирования.

Колебательный затухающий переходный процесс (рис. 18, б) кроме того, характеризуется степенью затухания:

Ψ = (у́₁ – у₂)/у́₁) .

Для устойчивых АСР 0< Ψ≤ 1, причем чем ближе Ψ к единице, тем больше запас устойчивости системы, тем ближе переходный процесс к апериодическому.

Рис. 26. Переходные процессы в САР:

а – апериодический; в – колебательный затухающий; б – колебательный с постоянной амплитудой; г – колебательный расходящийся.

А Б

Рис. 27. Показатели качества переходного процесса: а- апериодического; б – колебательного затухающего