Нахождение круга сходимости степенного ряда.

Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля. Нахождение круга сходимости степенного ряда.

Ряд вида , где - комплексные числа ,, , называется степенным рядом с комплексными членами.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , , то он сходится и при том абсолютно в круге .

Рассмотрим ряд , который составлен из модулей членов данного ряда. Полученный ряд является знакоположительным рядом, и к нему можно применить либо признак Даламбера, либо признак Коши.

Вначале применим признак Даламбера, т.е. найдем

.

Это означает, что данный ряд сходится в круге с центром в точке радиуса R,а вне этого круга ряд расходится. В точках окружности ряд может сходиться, а может и расходиться.

Теперь к ряду применим признак Коши.

Найдем предел

Если , то ряд сходится, а если , то ряд расходится.

Следовательно, данный ряд сходится в круге с центром в точке радиуса R,а вне этого круга ряд расходится. В точках окружности ряд может сходиться, а может и расходиться.

Пример 2. Найти круг сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на границе круга сходимости.

Решение. Рассмотрим ряд , к которому применим признак Коши. Найдем При ряд сходится, а при расходится. Следовательно, является кругом сходимости с центром в точке и радиуса 1.

Возьмем произвольную точку на границе круга сходимости, т.е. и рассмотрим данный степенной ряд в точке , т.е. ряд , который проверим на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из модулей членов последнего ряда, т.е. рассмотрим ряд , который сходится. Следовательно, ряд в каждой точке окружности сходится абсолютно.

10.5. Определение функцийФормулы Эйлера.

Известно, что

(1)

(2)

(3)

Положим:

(4)

(5)

(6)

Если в рядах (4),(5),(6) положить z=x, то получим соответственно ряды (1),(2),(3). Это означает, что функции на действительной прямой z=x совпадают соответственно с ранее определенными функциями .

Покажем, что функции определены на всей комплексной плоскости. Для этого надо показать, что ряды (4),(5),(6) сходятся во всей комплексной плоскости.

Ряды (4),(5),(6) являются степенными, поэтому нам достаточно показать, что радиусы сходимости этих рядов равны.

Например, найдем радиус сходимости ряда (4). Рассмотрим ряд из модулей членов ряда (4), т.е. ряди применим к этому ряду признак Даламбера.

Так как 0<1 для любого Z, то ряд (4) сходится абсолютно, а, следовательно, сходится на всей комплексной плоскости, R=. Аналогично доказывается, что ряды (5) и (6) сходятся на всей комплексной плоскости.

Теперь рассмотрим функцию

Итак, получена формула , которая называется формулой Эйлера.

Из формулы Эйлера можно получить следующие формулы:

Отметим, что является четной функцией, а – нечетной функцией.

.

Пользуясь формулами Эйлера, можно доказать, что функция является периодической с периодом , а функции тоже являются периодическими с периодом .