Ряды с комплексными членами.

Лекция 10

Тема: Ряды с комплексными членами. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля. Нахождение круга сходимости степенного ряда. Определение функцийФормулы Эйлера.

Определение 1. Выражение вида z₁+z₂+…+z_n+…=, где – комплексные числа, называется рядом с комплексными членами.

Ряды с действительными членами являются частным случаем рядов с комплексными членами.

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частичных сумм, т.е. если существует предел , где Если же не существует, то ряд называется расходящимся. Если ряд сходится, то S называется суммой ряда.

Каждому ряду с комплексными членами

(1)

соответствует два ряда с действительными членами

(2)

, (3)

где ,,…,

Теорема 1.Для того, чтобы ряд (1) с комплексными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы сходились оба ряда (2) и (3) с действительными членами.

Теорема 2. Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то предел общего члена ряда равен 0, т.е. .

Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится. Необходимый признак не является достаточным. В самом деле, ряд расходится, хотя общий член стремится к нулю.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Ряд = является знакочередующимся и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница, следовательно, он сходится.

По признаку Лейбница сходится и ряд

. По теореме 1 данный ряд сходится.