Свойства функций непрерывных на отрезке

Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной функции через нулевое значение при смене знаков.

Т.5.1. Первая теорема Больцано – Коши (Больцано – Бернард 1781-1844 – чешский математик).

Если функция непрерывна на отрезке и на концах принимает значения разных знаков, то существует точка , в которой

.

Геометрический смысл : (Рис.1.).

Рисунок 1

Т.5.2. Вторая теорема Больцано – Коши .

Если непрерывна на отрезке , причем , то на найдется такая точка , что , где .

Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

Т.5.3.Теорема Вейерштрасса (Вейертштрасс Карл немецкий математик 1815-1897).

Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем и принимает как свое наибольшее, так и наименьшее значения.