Действия над непрерывными функциями

Т.3.1. (об арифметических действиях над непрерывными функциями).

Если функции и непрерывны в точке , то их алгебраическая сумма и произведение так же непрерывны в точке . Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная в случаях, когда делитель .

Доказательство

Дано: и - непрерывны.

1) Доказать: - непрерывны (на основании первого определения непрерывности).

Т.к. и непрерывны, то

Найдем

- непрерывна в точке .

2)

- непрерывна.

3)

Т.3.2. Теорема: (о непрерывности обратной функции)

Если функция определенно строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке и - множество ее значений, то на множестве обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.