Централизованные алгоритмы нахождения кратчайшего пути

Методы маршрутизации, основанные на выборе кратчайшего пути.

Проблема маршрутизации в информационных сетях.

Конкретный метод маршрутизации обычно реализуется в рамках протокола сетевого уровня, который управляет пакетами при их дви­жении по сети до места назначения.

Большинство реальных алгоритмов маршрутизации, так или иначе, базируются на выборе кратчайшего пути в графе с той или иной мет­рикой. При этом определение кратчайшего пути может осуществлять­ся, как централизованно, по имеющейся информации о состоянии сети, так и децентрализовано (распределенно) на основе имеющейся в узле информации о состоянии ближайших соседей, когда структура всей сети неизвестна (метод "рельефа").

Наиболее распространенными стандартными алгоритмами решения задачи нахождения кратчайшего пути на графе являются: алгоритм Беллмана-Форда, алгоритм Дийкстра и алгоритм Флойда-Уоршела [1],[10].

Первые два алгоритма находят кратчайшие пути от узла источ­ника ко всем другим узлам, а третий алгоритм находит кратчайшие пути от всех узлов ко всем другим узлам.

Рассмотрим в качестве примера алгоритм Дийкстра. Этот алго­ритм требует, чтобы длины (веса) всех ребер были положительны. Объем вычислений для этого алгоритма значительно меньше, чем у алгоритма Беллмана-Форда.

Основная идея алгоритма - отыскание кратчайших путей в по­рядке возрастания длины пути.

Чтобы формально описать процедуру нахождения кратчайшего пути, будем считать, что каждый узел i имеет метку D_i , означаю­щую текущую оценку длины кратчайшего пути от узла 1 . Когда оцен­ка становится неизменной, будем считать, что узел окончательно помечен, и множество окончательно помеченных узлов обозначим че­рез Р. Узел, который будет добавлен на очередном шаге к Р , яв­ляется ближайшим к узлу 1 среди всех узлов, еще не вошедших в Р.

Алгоритм работает следующим образом.

Полагаем Р = {1} , D_i = 0 D_i = d_1j " j¹1 при наличии cвязи узла c1 .

Шаг I. Поиск следующего ближайшего узла.

Находим узел iÏ P такой, что D_i =

Полагаем Р: PÈ{1}. Еcли Р содержит вcе узлы, то на этом работа алгоритма заканчивается.

Шаг 2. Обновление меток.

Для всех jÏP положить D_i = min{D_j, D_i + d_ij}

Перейти к шагу I.

Пример использования алгоритма Дийкстра приведен на рис. 21.

Число операций, выполняемых алгоритмом Дийкстра на каждом шаге, пропорционально N , а шаги итерируются N-1 раз. Таким обра­зом, объем вычислений в худшем случае пропорционален N², а не N³ , как у алгоритма Беллмана-Форда.