Случайные величины.
Схема повторения испытаний Бернулли.
Определение.
Теоремы умножения.
Теоремы сложения вероятностей.
Теорема 2.1.
А,В – несовместные события Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Теорема обобщается на случай конечного числа несовместных событий:
Р(А1+А2+…+Аn) = Р(А1) + Р(А2)+…+P(An).
Следствие 1.
А1,А2,…,,Аn – полная группа несовместных событий Р(А1) + Р(А2)+…+P(An)= 1.
Следствие2.
Р(А) + Р( )= 1, так как А, – полная группа событий.
Теорема 2.2.
А, В – совместные события Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
Геометрическая интерпретация ….
Пример…
События называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого, в противном случае события называются зависимыми. Вероятность события В при условии появления А (условная вероятность) – Р(В/А). Для независимых событий Р(В/А)=Р(А).
Пример. В ящике 5 сверл (2 изношенных и 3 новых). Определить вероятность появления изношенного сверла при 2-м извлечении при условии, что в первый раз сверло не возвращается.
А – извлечение изношенного в 1-м извлечении;
- извлечение нового в 1-м извлечении;
В - извлечение изношенного во 2-м извлечении.
Р(В/А)=1/4; Р(В/ ) = 2/4.
Теорема 3.1.Если события А, В зависимы, то
Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В).
Теорема 3.2.Если события А, В независимы, то
Р(АВ) = Р(А)Р(В).
Теорема 3.2. (Формула полной вероятности)
Пусть событие А наступает только при условии появления одного из событий {В1, В2, …, Вn}, образующих полную группу несовместных событий (события-гипотезы), тогда
Р(А) = Р(В1)Р(А/В1) + Р(В2)Р(А/В2)+…+ Р(Вn)Р(А/Вn).
Теорема 3.3. (Формула Байеса)
При выполнении условий теоремы 3.3
.
Р(Вi) – априорные вероятности;
Р(Вi / А) – апостериорные вероятности.
Пример. Детали изготавливаются на трех станках: на первом – 50%, на втором – 30%, на третьем – 20%. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке – 0,98, на втором – 0,95, на третьем – 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.
Р(А) = Р(В1)Р(А/В1) + Р(В2)Р(А/В2)+Р(В3)Р(А/В3)=
=0,5∙0,98+0,3∙0,95+0,2∙0,8=0,935.
.
Допустим, некоторый опыт повторяется многократно. В результате опыта происходит или не происходит событие А. Будем считать испытания независимыми относительно события А, то есть вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других опытов.
Определение. Последовательность (серия) из n одинаковых опытов, в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью P(A)=p и не зависит от результатов других опытов серии, называется независимыми испытаниями по схеме Бернулли.Появление события А в серии называют «успехом».
Многие практические задачи сводятся к подсчету числа m «успехов» в серии n независимых испытаний по схеме Бернулли.
Пример.Проверка на годность изделий, взятых по одному из партии, если процент брака в партиях одинаков.
Пусть событие В состоит в появлении события А m раз в n испытаниях. Рассмотрим группу событий:
Ai – появление события А в i-м испытании (i = 1, 2, 3,…, n).
Введем обозначения:
.
Очевидно, событие В может быть представлено в следующем виде:
то есть является суммой несовместных событий. Число слагаемых в данной формуле равно числу сочетаний . В силу независимости испытаний вероятности событий-слагаемых одинаковы и равны . Тогда вероятность события В равна
.
Окончательно формула Бернулли для вычисления вероятности появления m «успехов» в n испытаниях принимает вид:
.
Пример.Вероятность выхода за границы допусков при изготовлении детали равна 0,07. Найти вероятность события: из пяти выбранных наудачу деталей одна выходит за границы допусков.
Очевидно, Тогда
В некоторых случаях возникает необходимость найти вероятности более сложных событий, связанных со схемой Бернулли. Пусть k – число «успехов», обозначим -- вероятность события, состоящего в том, что в n испытаниях число «успехов» оказалось меньше m. Тогда по теореме сложения вероятностей
Аналогично выводятся формулы для случаев:
число «успехов» оказалось не более m
,
число «успехов» оказалось не менее m
число «успехов» оказалось не более m2 и не менее m1
Серии испытаний могут содержать большое количество опытов (до нескольких десятков тысяч). при этом вычисления по формуле Бернулли весьма затруднительны. Для упрощения вычислений используют асимптотические формулы.
Формула Пуассона.Если n велико, а вероятность p мала, применяется формула
где
Формула Пуассона применяется при условиях: .
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если p и q не слишком малы ( ), то используется формула
где .
f(x) – функция Гаусса.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. При тех же условиях вероятность того, что число «успехов» находится в пределах, определяемых неравенствами , вычисляется по формуле
где .
Случайнойназывается величина, которая принимает в результате испытаний значения, заранее неизвестные, меняющиеся от испытания к испытанию. Случайная величина характеризует результат испытания количественно.
Пример случайной величины - размер изделия и т.п.
Дискретной называется случайная величина, которая принимает конечное или счетное множество значений.
Пример -число дефектных изделий в партии.
Непрерывнойназывается случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.
Обозначения:
X,Y,Z - случайные величины;
x,y,z - возможные значения случайных величин.
Если мы хотим каким-либо образом задать случайную величину, то основным будет вопрос: как часто в результате испытаний появляются различные возможные значения. Пусть дискретная случайная величина X может принимать значения x1,x2,…,xn . Тот факт, что случайная величина принимает значение xi,можно считать случайным событием (X=xi), вероятность которого равна pi:
P(X=x1) = p1, P(X=x2) = p2 ,… , P(X=xn) = pn
Данные события образуют полную группу n несовместных событий, тогда
(5.1)
Законом распределения (или просто распределением)случайной величины называется закон соответствия между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Случайные величины называются независимыми,если распределение вероятностей одной не зависит от того, какие значения принимает другая. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Распределение дискретной случайной величины может быть задано в виде таблицы:
Таблица 5.1.
| X | x1 | x2 | …… | xn-1 | xn |
| p | p1 | p2 | …… | pn-1 | pn |
В случае бесконечного числа значений задается ряд распределения.
Графически распределение дискретной случайной величины может быть задано многоугольником распределения.
0 x1 x2 xn-1 xn
Рис.1
Функцией распределеленияслучайной величины называется функция
F(x) = P (X<x),
то есть функция распределения случайной величины определяется как вероятность события, заключающегося в том, что случайная величина X принимает значение меньше x.
Для случайной величины, заданной таблицей 5.1, F(x) определяется формулой:
В интервале -¥ < x £ x1: F(x)=P(X<x1)=0;
в интервале x1 < x £ x2: F(x)=P(X<x2)= P(X=x1)=p1;
в интервале x2 < x £ x3: F(x)=P(X<x3)= P(X=x1)+ P(X=x2)=p1+p2;
……………………………………………………………………………..
в интервале xn-1 < x £ xn: F(x)=P(X<xn)= P(X=x1)+ P(X=x2)+…
+ P(X=xn-1)=p1+p2+…+pn-1;
в интервале xn < x £¥: F(x)= p1+p2+…+pn-1+pn=1.
Графиком этой функции является ступенчатая линия, которую можно построить, вычисляя значения функции в интервалах, на которые делится числовая ось возможными значениями xi.
Рис.2
Непрерывные случайные величины задать табличным способом невозможно. Их можно задать, задавая функцию распределения, удовлетворяющую некоторым свойствам.
Свойства функции F(x) следуют непосредственно из определения:
1. 0 £F(x)£1;
2. F(x) - неубывающая функция;
3. F(-¥)= 0, F(¥)=1.
Любая функция, удовлетворяющая трем сформулированным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.
При решении практических задач важнейшим вопросом является вопрос о попадании случайной величины в определенный интервал (a,b), то есть, как правило, требуется определить
P(xÎ(a,b))= P(a<X<b).
Ответ на вопрос дают доказанные ниже теоремы.
Теорема 5.1.Если задана функция распределения, то выполняется равенство:
P(a£ X<b) = F(b) - F(a) (5.2)