Разыгрывание полной группы событий
Разыгрывание полной группы n (n>2) несовместных событий , вероятности которых известны, можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины X со следующим законом распределения (для определенности примем , , …, ):
Х | 1 | 2 | … | n |
p | p1 | p2 | … | pn |
Действительно, достаточно считать, что если в испытании величина X приняла значение (), то наступило событие Справедливость этого утверждения следует из того, что число n возможных значений X равно числу событий полной группы и вероятности возможных значений и соответствующих им событий одинаковы: . Таким образом, появление в испытании события А равносильно событию, состоящему в том, что дискретная случайная величина X приняла возможное значение .
Правило. Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых , известны, достаточно разыграть дискретную случайную величину X со следующим законом распределения:
Х | 1 | 2 | … | n |
p | p1 | p2 | … | pn |
Если в испытании величина X приняла возможное значение , то наступило событие .
Пример 1. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу: , , , . Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых появляется одно из четырех заданных событий.
Решение: В соответствии с правилом, приведенным в настоящем параграфе, надо разыграть дискретную случайную величину X, закон распределения которой
X 1 2 3 4
р 0,19 0,21 0,34 0,26
По правилу разобьем интервал (0,1) на четыре частичных интервала: , , , . Выберем из таблицы приложения 5 пять случайных чисел, например: 0,66; 0,31; 0,85; 0,63; 0,73. Так как случайное число принадлежит интервалу , то Х=3, следовательно, наступило событие . Аналогично найдем остальные события.
Итак, искомая последовательность событий такова:
, , , , .
Пример 2. События А и В независимы и совместны. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а вероятность появления события В равна 0,2.
Решение: Возможны 4 исхода испытания:
, причем в силу независимости событий ;
, причем ;
, причем ;
, причем .
Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: с вероятностью , с вероятностью , с вероятностью и с вероятностью .
В свою очередь, в соответствии с правилом настоящего параграфа эта задача сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины X, закон распределения которой
Х | 1 | 2 | 3 | 4 |
p | 0,12 | 0,48 | 0,08 | 0,32 |
Используем правило. Выберем 6 случайных чисел, например: 0,45; 0,65; 0,06; 0,59; 0,33; 0,70. Построим частичные интервалы: , , , . Случайное число принадлежит интервалу , поэтому наступило событие . Аналогично найдем исходы остальных испытаний.
Итак, искомая последовательность исходов разыгранных испытаний такова: , , , , , .
Пример 3. События А и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности Р(А)=0,8, Р(В)=0,6, Р(АВ)=0,5.
Решение: Возможны 4 исхода испытания:
, причем, по условию, ;
, причем ;
, причем ;
, причем
.
Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы четырех событий: с вероятностью , с вероятностью , с вероятностью и с вероятностью .
Рекомендуем закончить решение самостоятельно, считая для определенности, что выбраны случайные числа: 0,65; 0,06; 0,59; 0,33.
Для контроля приводим ответ: , , , .
Пояснение. Так как , то .
Отсюда .
Аналогично получим, что .