Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
Пример
Дана система нелинейных уравнений:
Необходимо определить область сходимости системы, выбрать начальную точку и найти одно из решений системы.
Преобразуем систему для решения методом итераций
Проверяем условие сходимости (10.4). Для заданной системы оно имеет вид:
Находим:
В результате условие (10.4) будет иметь вид:
Определяем область сходимости G.
Граница области сходимости определится при решении системы,
Отсюда х1=0,5 ; 
.
В результате область сходимости определится при 
и
.
На графике уравнений строим область сходимости G:
Для обеспечения сходимости в общем случае рекомендуется функцию
из (3.5) искать в виде
| (3.7) |
Здесь 
,
где  - матрица Якоби
| (3.8) |
Будем предполагать, что матрица
– неособенная. Подставив выражение из формулы (3.7) в (3.5), запишем следующую итерационную формулу:
| (3.9) |
Приведём запись этой формулы для соответствующих компонент вектора 
:
| (3.10) |
– элементы матрицы
.
Модификацией метода простой итерации является метод Зейделя:
Как правило скорость сходимости у метода Зейделя выше, чем в методе простых итераций.
Дана система нелинейных уравнений
(10.5)
Или
В основе метода Ньютона лежит идея линеаризации всех нелинейных уравнений системы (10.5). Разложим каждое уравнение системы (10.5) в ряд Тейлора:
(10.6)
где
hj - приращение по каждой xj ; Ri - остаточные нелинейные члены второго и более высоких порядков каждого ряда Тейлора.
Если приращения hj таковы, что переменные xj принимают значения близкие к корню, то будем считать, что левые части уравнений системы (10.6) обращаются в нули. Тогда отбросив Ri сведем задачу решения системы нелинейных уравнений (10.5) к решению системы линейных уравнений, в которой неизвестными являются hj, 
(10.7)
Система (10.7) – система линейных уравнений с неизвестными hj, 
. Запишем (10.7) в матричной форме
где
(10.8)
(10.9)
Матрица А, составленая из частных производных
; называется матрицей Якоби , ее определитель- Якобианом.
На первом этапе реализации метода Ньютона необходимо построить систему (10.3).
На втором этапе, начиная с начальной точки
, необходимо решать систему (10.3) на каждом шаге итерационного процесса поиска. Найденные значения приращений hj используются как поправки к решению, полученному на предыдущем шаге поиска, т.е.
(10.10)
или
Итерационный процесс прекращается, как только выполнится условие
(10.11)
по всем приращениям одновременно. Метод Ньютона имеет преимущества по сравнению с другими методами. Но для метода Ньютона так же существует проблема сходимости, с увеличением числа неизвестных область сходимости уменьшается, а в случае больших систем, сходимость обеспечивается,если начальная точка близка к искомому решению.
Блок-схема алгоритма метода Ньютона