Пример 1.1

Примеры

Пусть X – высказывание «В огороде бузина», Y – высказывание «В Киеве дядька».

а) Записать с помощью формул логики высказываний следующие высказывания:

i) «В огороде бузина, а в Киеве дядька»;

ii) «Если неверно, что в огороде бузина, то, или в Киеве дядька, или в огороде бузина»;

iii) «Неверно, что если в Киеве нет дядьки и в огороде нет бузины, то, или в огороде бузина, или неверно, что в Киеве нет дядьки».

б) Записать на естественном языке высказывания, представленные следующими формулами:

i) ;

ii) .

Решение

аi) ;

аii) ;

aiii) ;

бi) Если в огороде нет бузины, то в Киеве нет дядьки;

бii) Если неверно, что если в огороде бузина, то в Киеве дядька, то в огороде бузина, и в Киеве нет дядьки.

Пример 1.2

Разбить высказывание на элементарные и записать в виде формул логики высказываний:

а) «Функция непрерывна и дифференцируема»;

б) «Если функция не является непрерывной, то она недифференцируема»;

в) «Утверждение либо верно, либо неверно»;

г) «Теорема неверна или в доказательстве допущена ошибка»;

д) «Необходимое и достаточное условие счастья для шейха состоит в том, чтобы иметь вино, женщин и услаждать свой слух музыкой».

Решение

а) , где X – «функция непрерывна», Y – «функция дифференцируема»;

б) , где X – «функция непрерывна», Y – «функция дифференцируема»;

в) , где А – «утверждение верно»;

г) , где А – «теорема верна», В – «в доказательстве допущена ошибка»;

д) , где А – «шейх счастлив», В – «шейх имеет вино»; С – «шейх имеет женщин»; D – «шейх услаждает свой слух музыкой».

Пример 1.3

Пусть A – высказывание «Завтра экзамен», B – высказывание «Студент пишет шпаргалки».

Сформулировать словесно:

; ; ; ; ; .

Решение

«Если завтра экзамен, то студент пишет шпаргалки»;

«Завтра экзамен и студент пишет шпаргалки»;

«Неверно, что если завтра экзамен, то студент пишет шпаргалки»;

«Если студент не пишет шпаргалки, то завтра нет экзамена»;

«Студент пишет шпаргалки в том и только том случае, когда завтра экзамен»;

«Если завтра экзамен или студент не пишет шпаргалки, то завтра нет экзамена, и студент не пишет шпаргалки».

Пример 1.4

Какой логической операции соответствует употребление «или» в высказываниях:

а) Родители разрешили завести или собаку, или кошку.

б) Кошелек или жизнь!

в) Либо студент сдает сессию, либо его отчисляют.

Решение

а) Альтернативная дизъюнкция, так как предполагается одно условие из двух, но не оба вместе.

б) Дизъюнкция (хотя, если говорящий «честен», то возможна альтернативная дизъюнкция).

в) Альтернативная дизъюнкция.

Пример 1.5

Тождественно ли истинны высказывания и формулы:

а) Если Земля столкнется с Солнцем, то пойдет дождь;

б) ;

в) .

Решение

а) Тождественно-истинно, так как посылка – ложна, а из лжи следует все что угодно.

б) Импликация ложна в единственном случае, когда из истины следует ложь. Если истинно, то P и Q принимают одинаковые истинностные значения. Значит, импликация истинна и внешняя импликация – тоже. Если ложно, то внешняя импликация всегда истинна. Итак, вся формула – тождественно-истинна.

По-другому исследование можно провести, построив таблицу истинности для нашей формулы. Построим сокращенную таблицу истинности (т.е. для каждой переменной будем отводить только по одному столбцу, в месте ее первого вхождения в формулу; для каждой логической связки – тоже по одному столбцу, используя при этом запись самой формулы):

Здесь приведена сокращенная таблица истинности формулы: сначала заполняются столбцы возможных значений P и Q, таких наборов будет ; затем – столбцы для «внутренних» логических связок (эквивалентность и правая импликация) и, наконец, столбец для внешней (левой) импликации, который и дает истинностные значения всей формулы. Цифры под таблицей показывают порядок заполнения столбцов. Поскольку на любых наборах истинностных значений переменных формула принимает только значение 1, то она является тождественно-истинной.