Задано дифференциальное уравнение

Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля.

с нулевыми начальными условиями.

Известно решение уравнения при . Надо, используя это решение, найти решение для произвольной правой части.

,

Следовательно, . Отсюда по формуле интеграла Дюамеля

. Для вычисления выбирается одна из этих формул.

Решение систем дифференциальных уравнений методом операционного исчисления.

Задана система дифференциальных уравнений. Надо решить задачу Коши.

.

Матричный способ решения.

Применим к обеим частям преобразование Лапласа

Теперь надо найти оригинал для вектора .

Координатный способ решения.

Если обратную матрицу считать сложно, то можно применить преобразование Лапласа к каждому из уравнений системы, получить систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений координат вектора , решить ее. Затем надо найти оригиналы координат вектора.

Примеры.

1. Матричный способ

- три раза применена теорема об интегрировании оригинала,

2.

Координатный способ.

,

Примеры решения типовых домашних задач.

1. Найти изображение для оригинала .

По теореме об интегрировании изображения .

2. Найти оригинал по изображению .

По теореме об интегрировании оригинала .

3. Найти оригинал по изображению .

Особые точки функции - полюсы первого порядка . По общей третьей теореме разложения (или второй теореме разложения)

.

4. Найти изображение периодического импульса с периодом 2

.

5.

По третьей (или второй) теореме разложения

~.

6.

,

.

7.

,