Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд
Теоремы Тейлора и Лорана
Лекция 8.
(теорема Тейлора).
Пусть функция 
- аналитическая в односвязной области 
с кусочно-гладкой границей 
, 
. Тогда функция разлагается в степенной ряд по степеням 
в круге 
(расстояние от точки до границы области).
Доказательство. Точка 
лежит внутри , поэтому можно выбрать 
целиком лежит в области
 . По интегральной формуле Коши 
Разложим |
в ряд по степеням
.
Так как 
, то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией 
и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге . 
Функция 
- аналитическая в и на 
, следовательно, она непрерывна и ограничена на 
. То есть 
на .
Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .
. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией 
и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге . Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.
, где коэффициенты ряда Тейлора равны 
. В самом деле, по следствию из интегральной формулы Коши
. Заметим, что точно так же записывался ряд Тейлора для функции действительной переменной: 
. Таким образом, показано, что функция, аналитическая в круге, разлагается в нем в сходящийся степенной ряд. Это разложение единственно и оказывается рядом Тейлора для данной функции. Коэффициенты разложения вычисляются однозначно по формулам 
.