Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.

Доказательство. Пусть . Выберем , например . На окружности степенной ряд сходится абсолютно, так как эта окружность лежит внутри круга сходимости. Тогда (не зависит от ), тогда в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса (замечание в доказательстве теоремы Абеля).

Следствие.Внутри круга сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании (по любой кусочно-гладкой дуге, принадлежащей кругу сходимости) и дифференцировании ряда.

Теорема.При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.

Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.

.

Продифференцируем почленно степенной ряд , перейдем к ряду из модулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.

.

Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.

Исследуем сходимость степенного ряда на границе круга сходимости.

Рассмотрим ряд из модулей на границе круга сходимости .

1) Если ряд из модулей на границе круга сходимости сходится, то исходный степенной ряд абсолютно сходится на всей границе.

В самом деле этот ряд является мажорантным для степенного ряда в любой точке границы.

2) Если , то исходный степенной ряд расходится на всей границе.

В этом случае , и не выполняется необходимый признак сходимости для исходного степенного ряда на всей границе круга сходимости. Поэтому исходный степенной ряд расходится на всей границе.

3) Если ряд из модулей на границе круга сходимости расходится, но , то исходный степенной ряд сходится в одних точках границе и расходится в других. В этом случае для того, чтобы исследовать сходимость в точке границы, надо подставить ее в качестве в степенной ряд и исследовать сходимость полученного числового ряда.

Приведенные выше примеры 3, 4, 5 (после критерия Коши): ряд , ряд , ряд иллюстрируют все три случая. Первый ряд расходится на всей границе , так как на ней не выполняется необходимый признак сходимости ряда. Второй ряд сходится на всей границе, третий ряд сходится в одних точках границы и расходится в других.

Теорема.Сумма степенного ряда является аналитической функцией в его круге сходимости (без доказательства).

Ряд Тейлора.

Рядом Тейлора называется степенной ряд вида (предполагается, что функция является бесконечно дифференцируемой).

Рядом Маклоренаназывается ряд Тейлора при , то есть ряд .

Теорема.Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.

Доказательство. Пусть и степенной ряд сходится в круге . Подставим в разложение , получим.

Так как сумма степенного ряда – функция аналитическая, мы можем дифференцировать функцию, а так как степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости, мы можем его дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же круге, так как радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Поэтому сумма этого ряда будет фунцией аналитической в том же круге. Ее вновь можно дифференцировать, дифференцируя почленно степенной ряд и т.д. Отсюда следует, что еслианалитическая функцияявляется суммой степенного ряда(это будет показано позже),то онаявляется бесконечно дифференцируемой функцией.Вычислим коэффициенты в степенных рядах, полученных почленным дифференцированием. =,

, , ,

, , ,

Продолжая этот процесс, получим . Это – коэффициенты ряда Тейлора.

Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

Так как эти формулы справедливы на всей действительной оси, то по теореме Абеля они справедливы и на всей комплексной плоскости (в круге с началом координат бесконечного радиуса).

, .

,.

( интегрируя предыдущую формулу)

,