Тригонометрический ряд Фурье).
Ряд Фурье по тригонометрической системе функций
Тригонометрической системой функций называется система функций
Это – периодические функции.
Докажем два свойства периодических функций.
1) Если функция
имеет период
,то функция 
имеет период 
.
Доказательство. 
.
2) Если функцияимеет период, то 
.
Доказательство. 
=
(делаем замену переменных в последнем интеграле 
)
.
Доказанные свойства позволяют
1) рассматривать тригонометрическую систему функций на любом отрезке длиной 
(период 
равен 
, 
), например на отрезке 
,
2) при вычислениях интегралов от функций с периодом, кратным , проводить интегрирование по любому отрезку длиной .
Так как элементы тригонометрической системы функций представляют собой непрерывные функции, то они сами и их квадраты (как произведение непрерывных функций) интегрируемы на отрезке . Поэтому можно рассматривать пространство L2 на отрезке и строить ряд Фурье.
Скалярное произведение функций введем так: 
Для того, чтобы построить ряд Фурье по тригонометрической системе функций надо доказать, что эти функции попарно ортогональны на .
Теорема.Тригонометрическая система функцийсостоит из попарно ортогональных на отрезке функций.
Доказательство. 
. 
,
,
Пусть 
.
Теорема доказана.
Вычислим скалярные квадраты элементов тригонометрической системы.
, 
.
Составим ряд Фурье по тригонометрической системе функций
.
Коэффициенты Фурье вычисляются по формуле 
.
, 
,
.
Теперь необходимо сформулировать условия, при которых функция представляется рядом Фурье по тригонометрической системе функций.