Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

 

Функция f(x) = ex.

 

Находим: f(x) = ex, f(0) = 1

f¢(x) = ex, f¢(0) = 1

……………………

f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1

 

Тогда:

 

Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1.

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

 

Функция f(x) = sinx.

f(x) = sinx; f(0)

f¢(x) = cosx = sin( x + p/2); f¢(0) = 1;

f¢¢(x) = -sinx = sin(x + 2p/2); f¢¢(0) = 0;

f¢¢¢(x) = -cosx = sin(x + 3p/2); f¢¢¢(0)=-1;

……………………………………

f(n)(x) = sin(x + pn/2); f(n)(0) = sin(pn/2);

f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)p/2); f(n+1)(e) = sin(e + (n + 1)p/2);

 

Функция f(x) = cosx.

Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:

 

 

Функция f(x) = (1 + x)a.

(a - действительное число)

 

…………………………………………………..

 

Если в полученной формуле принять a = n, где n- натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда

 

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

 

Функция f(x) = ln(1 + x).

f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f¢(x) = ;

………………………………………

 

 

 

Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

 

ln1,5 = 0,405465108108164381