Степенные ряды

 

Степенным рядомназывается ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

 

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера: .

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1: ряд сходится по признаку Лейбница

При х = -1: ряд расходится (гармонический ряд).

 

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех .

Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех .

 

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

 

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости .

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

 

Теорема. Если степенной ряд сходится для положительного значения х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .