ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОТИВОПОЛОЖНОГО СОБЫТИЯ
Обозначим буквами А1, А2,… Аn все несовместные равновозможные исходы данного испытания. Вместе они образуют полную систему событий W.
Например, при подбрасывании игральной кости пространство W элементарных событий состоит из шести точек: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6).
Тогда сумма событий А1, А2,… Аn – достоверное событие, т.к. в результате опыта обязательно появится одно из событий А1, А2,… Аn (так, в нашем примере в результате бросания игральной кости обязательно выпадет число от 1 до 6), а вероятность достоверного события по свойствам вероятности равна 1. Следовательно, Р(А1+А2+…+Аn) = 1.
Так как события А1, А2,… Аn попарно несовместны, то по теореме 2 их сумму можно представить как Р(А1) + Р(А2) +…+ Р(Аn), тогда
Р(А1) + Р(А2) +…+ Р(Аn) = 1
Рассмотрим теперь противоположные события А и Ā. В сумме они образуют полную систему событий (А + Ā = Ω), следовательно сумма их вероятностей также равна 1:
Следствие 1. Сумма вероятностей события А и события, ему противоположного, равна 1:
Р(А) + Р(Ā) = 1.
Тогда для нахождении вероятности события А можно использовать формулу:
Р(А )= 1 - Р(Ā)
и Р(Ā) =1 - Р(А ).
Пример 13.1.Вероятность бесперебойной работы компьютера равно 0,9. Какова вероятность того, что при работе компьютер даст сбой?
Решение. Событие А - бесперебойная работа компьютера, тогда противоположное ему событие Ā - при работе компьютер даст сбой. По формуле Р(Ā)= 1 - Р(А ), где Р(А ) = 0,9.
Тогда Р(Ā)= 1 – 0,9 = 0,1.
Ответ: Р(Ā)=0,1.
При решении задач бывает удобно пользоваться следующим фактом:
Следствие 2. Вероятность появления хотя бы одного из исходов равна разности между 1 и противоположным событием (ни одного из исходов).
Пример 13.2. Студент хранит собранную для дипломной работы информацию на 7 дисках, на четырех из которых есть статьи о новых информационных технологиях. Какова вероятность того, что хотя бы на одном из трех наудачу выбранных дисков есть статьи о новых информационных технологиях?
Решение. Испытание – выбор наудачу одного диска из трёх (на четырех есть статьи о новых информационных технологиях).
Пусть событие А - хотя бы на одном из выбранных дисков есть статьи о новых информационных технологиях. Если мы будем решать задачу, пользуясь правилом сложения, нам придется найти сумму следующих событий:
· на одном из трех наудачу выбранных дисков есть нужные статьи;
· на двух есть нужные статьи;
· на трех есть нужные статьи.
Мы же решим задачу, пользуясь следствием 2. Найдем противоположное событие Ā – ни на одном из трех наудачу выбранных дисков нет статей о новых информационных технологиях.
Найдем вероятность события Ā по классической формуле вероятности: . Для этого надо знать m и n.
Наше испытание заключается в выборе трех дисков из семи. Следовательно, n – число всех возможных исходов - равно числу выборок из 7 по 3. Порядок в каждой выборке не важен, и мы имеем дело с сочетаниями.
Событие Ā заключается в том, чтобы ни на одном из трех наудачу выбранных дисков не было статей о новых информационных технологиях, а таких дисков 7 – 4 = 3, значит, число благоприятных исходов m равно =1. Тогда . По формуле Р(А ) = 1 - Р(Ā), тогда Р(А)= 1 – .
Следовательно, вероятность того, что хотя бы на одном из трех наудачу выбранных дисков есть статьи о новых информационных технологиях, равна .
Ответ: Р(А) =
Контрольные вопросы:
1. Сформулируйте теорему о вероятности противоположного события.
2. Как при решении задач найти вероятность появления хотя бы одного исхода данного испытания?
3. Решите задачу, используя теоремы сложения вероятностей: В партии из 12 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых трех деталей есть хотя бы одна стандартная.