Возрастание и убывание функции. Экстремумы

Исследование функций с помощью производной

Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

Теорема (достаточное условие возрастания функции) Если функция f(x) дифференцируема и на интервале (a; b) производная данной функции f′(x) положительна, то функция возрастает на этом интервале.

 

Теорема (необходимое условие убывания функции) Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неположительна, т.е. f¢(x) £ 0.

Теорема (достаточное условие убывания функции Если функция f(x) дифференцируема и на интервале (a; b) производная данной функции f′(x) отрицательна, то функция убывает на этом интервале.

 

Точка х0 из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x0).

 

Точка х0 из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x0).

Теорема (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х0 и точка х0 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

 

Теорема (I достаточное условие существования экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в самой точке x0.

Если при переходе через точку x0 производная f′(x) меняет знак с минуса на плюс, то точка x0 является точкой минимума.

Если при переходе через точку x0 производная f′(x) меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума.

Если при переходе через точку x0 производная f′(x) не меняет знак, то точка x0 не является экстремумом.

 

Теорема (II достаточное условие существования экстремума) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в самой точке x0, причем f¢(x0) = 0, а f¢¢(x0) ≠ 0, тогда функция f(x) в точке х = х0 имеет максимум, если f¢¢(x0)<0 и минимум, если f¢¢(x0)>0.

 

Критическими точками I рода функции называются точки, в которых первая производная функции равна нулю или не существует.