Табличные значения производных основных функций

1. (uⁿ)' = n × u^n-1 × u' (n Î R)

2. (a^u)' = a^u × lna× u'

3. (e^u)' = e^u × u'

4. (log_a u)' = × u'

5. (ln u)' = × u'

6. (sin u)' = cos u × u'

7. (cos u)' = - sin u× u'

8. (tg u)' = × u'

9. (ctg u)' = - × u'

10. (arcsin u)' = × u'

11. (arccos u)' = - × u'

12. (arctg u)' = × u'

13. (arcctg u)' = - × u'

Пример. Найти производную функции у = х⁴ + 2х² – 1

Для вычисления данной производной воспользуемся 1 табличным значением:

у′ = 4х^4-1 + 2∙2х = 4х³ +4х

Пример. Найти производную функции у = 12х ∙ (х² – 8)

Для вычисления производной воспользуемся сначала 3 правилом дифференцирования (u = 12x, v = х² – 8), затем 1 табличным значением:

у′ = (12х)′ ∙ (х² – 8) + 12х ∙ (х² – 8)′ = 12 ∙ (х - 8) + 12х ∙2х = 12х – 96 + 24х²

Пример. Найти производную функции у = е^3-4х

Данная функция является сложной, ее производная находится по 5 правилу дифференцирования. Обозначим u = 3 - 4х, тогда у = е^u. Далее воспользовавшись 3 табличным значением производной, получим:

у′ = (e^u)' = e^u × u' = е^3-4х ∙ (3 - 4х)′ = е^3-4х ∙ (-4) = - 4 е^3-4х

Пример. Вычислить производную функции: у =

Данная производная вычисляется по 4 правилу дифференцирования (u=2x²+3, v=7x²+2):

у′ = = =

= = -

Пример. Вычислить производную функции: у = (5х²+3х-7)⁶

Данная функция является сложной. Обозначим u = 5х²+3х-7, получим функцию у = u⁶, для нахождения производной которой воспользуемся 1 табличным значением:

у′ = 6u⁵ = 6∙(5х²+3х-7)⁵ ∙ (5х²+3х-7)′ = 6∙(5х²+3х-7)⁵ ∙ (10x+3)

Пример. Вычислить производную функции: у =

Для нахождения данной производной сначала преобразуем заданную функцию: у = . Далее воспользуемся 1 табличным значением:

у′ = = =