Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(х) и b(х) бесконечно малые функции при х ® А. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Бесконечно малые функции a(х) и b(х) при х ® А называются бесконечно малыми одного порядка, если .

Бесконечно малые функции a(х) и b(х) при х ® А называютсяэквивалентными бесконечно малыми, если . Записывают a(х) ~ b(х).

Бесконечно малая функция a(х) называется бесконечно малой высшего порядка, чем функция b(х), если .

Бесконечно малая функция a(х) называется бесконечно малой низшего порядка, чем функция b(х), если .

Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x¹⁰ и f(x) = x.

, т.е. функция f(x) = x¹⁰ – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

Бесконечно малые функции a(х) и b(х) при х ® А называются несравнимыми, если не существует предела .

Пример. Если , то при х®0 не существует, т.е. функции a(х) и b(х) несравнимы.