Вещественные числа

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде

N = M×q^P, 2.3

где Р – порядок числа,

М – мантисса, содержащая все цифры числа.

Запись числа в виде (2.3) называется представлением числа с плавающей точкой.

Если мантисса числа – правильная дробь (т.е. 0.1 £ М < 1), то число N называется нормализованным.

Пример. Десятичные числа: 312.41 = 0.31241×10³; - 0.0000723917 = 0.723917×10^-4. Двоичные числа: 0.000011 = 0.11× 2^-100; - 101.01 = 0.10101× 2¹¹.

Нормальная форма позволяет при одинаковой разрядности получать существенно больший диапазон представления чисел. Это приводит к уменьшению вероятности переполнения разряд­ной сетки в ячейках хранения числа.

Структура записи нормализованного числа в компьютере в формате с n разрядами имеет следующий вид:

n-1 n-2 3 2 1 0

Знак мантиссы

Смещенный порядок Абсолютная величина мантиссы

Смещенный порядок применяется для однообразного отображения положительных и отрицательных порядков. Например, порядок, принимающий значения в диапазоне – 32 ÷ + 31, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 64.

Сложение и вычитание нормализованных чисел производится путем сложения и вычитания их мантисс. Перед выполнением действия производится выравнивание порядков чисел.

Пример. 1.Сложить числа 0.10111×2^-1 и 0.11011×2¹⁰. Для выравнивания порядков мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

0.00010111 × 2¹⁰

+ 0.11011 × 2¹⁰

0.11101111 × 2¹⁰

2.Выполнить вычитание 0.10101×2¹⁰ – 0.11101×2¹. Для выравнивания порядков мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

0.10101 ×2¹⁰

- 0.011101 ×2¹⁰

0.001101 ×2¹⁰

Результат получен не нормализованный. Поэтому его нормализуют к виду 0.1101×2⁰.

При умножении нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

При делении нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

При выводе из компьютера десятичных чисел для отображении их в нормализованном виде применяются записи вида:

- для чисел одинарной точности: МЕ ±Р

- для чисел двойной точности: МD±Р,

где М – мантисса числа, Р – порядок числа, а латинские буквы E и D означаю, что число имеет одинарную и соответственно двойную точность.

Пример. Число одинарной точности: 0.1234567Е + 16. Число двойной точности: 0.123456789012345D – 65.