Создание макросов

Автоматизация вычислений в Excel

Порядок работы

Метод Рунге-Кутта

Одним из наиболее распространенный методов решения дифференциального уравнения вида у'=f(x,y) на заданном отрезке [Xнач,Хкон] с начальными условиями является метод Рунге-Кутта. При решении данного уравнения точное значение y заменяют его приближенным значением:

Y _i+1 =Y _i +(К₁+2К₂+2К₃ +К₄ )/6, (6.29)

где значения коэффициентов на i-том шаге вычисляются по формулам:

К₁ =h*f(x_i,y_i )

K₂ =h*f(x_i +0.5h,y_i +0.5K₁)

K₃ =h*f(x_i +0.5h,y_i +0.5K₂ ) (6.30)

K₄ =h*f(x_i+h,y_i +K₃ )

Здесь х_i+1 =x_i +h.

Значение шага при переходе к следующей точке можно изменять. Правильность выбора шага проверяется по формуле

Т=|(К₂ - К ₃)/(К₁ - К₂ )|, (6.31)

величина Т не должна превышать нескольких сотых.

Для проверки точности необходимо сделать второй проход с шагом h/2. Если разница между Y_i+1 и Y_i на k+1 и k проходах будет меньше требуемой точности, то процесс вычисления прекращается. Значение точности выбирают в интервале от 0.001 до 0.00001.

Грубую оценку погрешности метода проводят по формуле

Y_k - Y(x_i )= |Y_k+1 - Y_k |/15, (6.32)

где Y(x_i ) - значение точного решения уравнения.

Для решения задачи необходимо вычислить значения коэффициентов К₁ – К₄ при начальных условиях, выбрать начальный шаг и вычислить значения X_i и Y_i . Затем увеличить значение х и повторить процедуру вычисления.

Пример 6.9. Решить дифференциальное уравнение первого порядка

dY/dx=2(x²+Y) методом Рунге-Кутта при 0<=x<=1, Y(0)=1, шаг h=0.1.

Для этой задачи имеется аналитическое выражение

Y=1.5е^2х – х² – х – 0.5. (6.33)

- запишите исходные данные в строку 2;

- заполните шапку таблицы согласно Листингу 6.19;

- сгенерируйте в ячейки A4:A14 значения аргумента;

- запишите в ячейки В4 и G4 начальное значение Y(0);

- Запишите в ячейки расчетные формулы со ссылками на ячейки таблицы: коэффициент К1, ячейка C5 - $B$2*2*(A4^2+G4);

коэффициент К2, ячейка D5 - $B$2*2*((A4+$B$2/2)^2+(G4+C5/2));

коэффициент К3, ячейка E5 - $B$2*2*((A4+$B$2/2)^2+(G4+D5/2));

коэффициент К4, ячейка F5 - $B$2*2*((A4+$B$2)^2+(G4+E5));

Y, ячейка G5 - G4+(C5+2*D5+2*E5+F5)/6;

- в ячейку B5 запишите формулу: = G5;

- в ячейку I5 запишите формулу (6.31) для контроля выбора шага

(D5-E5)/(C5-D5).

- скопируйте формулы из ячеек В5:I5 в нижележащие ячейки

Сравнительные результаты вычисления дифференциального уравнения в примере 6.9 методом Рунге-Кутта и методом Эйлера и по аналитической формуле приведены на листинге 6.18. Из таблицы видно, что метод Рунге-Кутта позволяет получить результаты с высокой точностью во всем диапазоне изменения значения аргумента, чего нельзя сказать о методе Эйлера.

Для автоматизации выполнения часто повторяющихся операций, например форматирования выделенных ячеек, оформления шапок таблиц и т. п. в Excel можно создавать макрокоманды – макросы.

Удобнее всего макросы создавать путем записи. Правда, при этом в макрос записываются все действия пользователя, в том числе и ошибочные. Однако, если алгоритм работы продуман, то проблем не возникает.