Наименьших квадратов

Эмпирических формул методом

Определение коэффициентов

Нередко при обработке результатов наблюдений встречаются со следующей задачей: в итоге опыта получен ряд значений переменных x и y, однако характер функциональной зависимости между ними остается неизвестным. Требуется по полученным данным найти аналитическое выражение зависимости между ними. Формулы, полученные в результате решения задач подобного рода, называются эмпирическими.

Задача о построении эмпирической формулы состоит в следующем.

Пусть в результате экспериментов получены данные, представленные таблицей:

 

x1 x2 ... xk ... xn
y1 y2 ... yk ... yn

 

где хi - значения аргумента, изменяющиеся с постоянным шагом и расположенные в порядке возрастания их значений, yi - экспериментальные значения функции, соответствующие данным значениям аргументов.

Требуетсянайти эмпирическую формулу у=f(xi,a1,a2,…am), где функция f зависит не только от значения аргумента хi, но и от некоторых параметров aj. Разности

f(xi,a1,a2,…am)-yi=ei, (i=1,2,3,..m) (6.9)

называются отклонениями или погрешностями, где

xi - числа из первой строки таблицы,

yi - числа из второй строки данной таблицы,

f(xi,a1,a2,…am) - значения функции при соответствующих значениях аргумента xi .

Параметры aj эмпирической формулы y=f(x,a1,a2,…am) необходимо подобрать таким образом, чтобы отклонения ei оказались наименьшими. Наиболее распространенным критерием является критерий, лежащий в основе метода наименьших квадратов: параметры функции выбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений оказалась минимальной:

(6.10)

Минимум функции находят приравнивая нулю частные производные по переменным параметрам аj

, , … (6.11)

Полученные соотношения образуют систему уравнений, для определения коэффициентов ai, для i=1,2,..,m.

Пусть функция f(x) является многочленом степени m, т.е.

f(x)=a0xm + a1xm-1 + ...+aixm-i +...+am-2x2 am-1x + am, (a0 не равно 0).

Задача ставится следующим образом: подобрать коэффициенты многочлена так, чтобы сумма квадратов отклонения для данного многочлена оказалась минимальной.

В случае m=1 имеем линейное приближение функции по методу наименьших квадратов, в случае m=2 - квадратичное приближение.

В случае линейной зависимости предполагается, что все точки лежат на некоторой прямой

y=a*x+b, (6.12)

где a и b - некоторые постоянные параметры, подлежащие определению. Для их нахождения требуется решить систему:

a*Sxi2 + b*Sxi = Sxi*yi (6.13)

a*Sxi + b*n =Syi

В случае квадратичной зависимости предполагается, что все точки лежат на некоторой параболе. В этом случае естественно предположить, что между ними существует квадратичная зависимость, т.е.

y=a*x2+b*x+c, (6.14)

где a, b, c - постоянные параметры, подлежащие определению. Они находятся из системы:

a*Sxi 4+ b*Sxi3 + c*Sxi2 = Syi*xi2

a*Sxi3 + b*Sxi2 + c*Sxi =Sxi*yi (6.15)

a*Sxi2 + b*Sxi + c*n =Syi

 

Решение системы осуществляется любым известным методом.

После того как найдены значения коэффициентов систем уравнений (6.13) и (6.15), вычисляют значения выражений (6.12) и (6.14) при заданных значениях аргументов. Каждое из полученных уравнений удовлетворяет условию (6.11).

Для выбора предпочтительной функции из двух также применяют метод наименьших квадратов. Для этой цели находят отклонения по формулам и квадраты этих отклонений для каждого метода (6.10). Предпочтительной будет та функция, для которой сумма квадратов отклонений будет наименьшая.