Синусоидальные решетчатые функции
Рассмотрим свойства синусоидальных решетчатых функций xs[n]=A×sin(wnT+j), образованных из производящих функций вида
x(t)=A×sin(wt+j).
Если период дискретности T и T1=2p/w - соизмеримые числа, то последовательность xs[n] - периодическая, в противном случае - непериодическая.
Амплитуда A - не обязательно максимальное значение последовательности, а лишь верхнее значение, которое может быть достигнуто. Например, если w=wT=2p/T (период синусоидального сигнала равен периоду дискретности), то wnT=2pn и
xs[n]=A×sinj=const.
В частности, при j=0 xs[n]º0. Решетчатая функция не изменится, если заменить f=w/2p на f+kfT, где k - целое, fT=T-1 - циклическая частота дискретности. Действительно,
.
Отсюда следует важный вывод:
В ДВ-системах невозможно различить две частоты, разность между которыми df=mfT=m2p/T, m - целое.
Отсюда следует, что меняя частоту входного воздействия от нуля до wT, можно фактически охватить весь диапазон частот входных сигналов ДВ-системы.
Более того, оказывается достаточно проводить исследования в диапазоне частот от нуля до wT/2 (0 £ w £ wT/2). Для того, чтобы показать это, определим две частоты входного сигнала симметрично относительно частоты wT :
Покажем, что
Действительно,
Равенство очевидно.
Это означает, что входные сигналы одинаковой амплитуды, имеющие частоты симметричные относительно частоты wT/2 после дискретизации с периодом T дают решетчатые функции, которые отличаются только знаком. Поэтому достаточно изучать свойства ДВ-систем на интервале частот от нуля до wT/2.
Полученный результат аналогичен тому, что для исследования непрерывной системы достаточно изменять частоту w в интервале от нуля до +¥, вместо интервала от -¥ до +¥. При этом w®¥ для непрерывных систем соответствует w®p/T для дискретных систем.
Синусоидальная последовательность может быть записана в символической форме
xs[n]=a×ejnwT,
где a=a×exp(jj) - комплексная амплитуда. Как и в непрерывном случае xs[n]=Im(xs[n]).
Вводя обозначение z=exp(jwT), получим
xs[n]=a×zn.