Метод прогонки для решения СЛАУ

Пример.

Метод прогонки – это частный случай метода Гаусса для трехдиагональных линейную матрицу. Точно так же как и метод Гаусса метод прогонки решается в двух этапах. На первом этапе, который называется прямым ходом прогонки, вычисляются прогоночные коэффициенты. На втором этапе, который называется обратным ходом прогонки, через прогоночные коэффициенты вычисляются неизвестные величины.

b₁x₁+c₁x₂ =d₁

a₂x₁+b₂x₂+c₂x₃=d₂

a₃x₂+b₃x₃+c₃x₄=d₃

…………….

a_nx_n-1+b_nx_n=d_n

a₁=0, c_n=0

b₁x₁=d₁-c₁x₂

a₂(u₁x₂+v₁)+b₂x₂+c₂x₃=d₂

a₂u₁x₂+a₂v₁+b₂x₂+c₂x₃=d₂

x₂(a₂u₁+ b₂)+a₂v₁+c₂x₃=d₂

x₂=u₂x₃+v₂

Т.к. c_n=0, то u_n=0, тогда x_n=v_n

За счет ошибок вычислений и округлений, даже при решении точными методами появляется разница между реальными и вычисленными значениями решений. Эта ошибка называется невязкой. Она записывается через формулу

В отличии от метода Гаусса при решении СЛАУ методом прогонки обязательным является выполнение диагонального преобладания, т.е. коэффициенты, которые находятся на главной диагонали, по модулю должны быть больше, чем сумма коэффициентов по модулю оставшихся двух диагоналей.

|b_k|>|a_k|+|c_k|

Лекция 7