Показатели вариации. Техника исчисления простых показателей вариации

Тема 11. Вариационный анализ

Вариацию можно определить как количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Термин «вариация» имеет латинское происхождение - variatio, что означает различие, изменение, колеблемость. Изучение вариации в статистической практике позволяет установить зависимость между изменением, которое происходит в исследуемом признаке, и теми факторами, которые вызывают данное изменение.

Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию. К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение и др.

Размах вариации (размах колебаний)определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности (11.1):

. (11.1)

Размах вариации - важный показатель колеблемости признака, но он дает возможность увидеть только крайние отклонения, что ограничивает область его применения. Для более точной характеристики вариации признака на основе учета его колеблемости используются другие показатели.

Среднее линейное отклонение вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю.

Формула среднего линейного отклонения (простая) (11.2):

, (11.2)

где n – количество единиц совокупности (вариант); Xi – значение i - ого признака, X – среднее значение признаков.

Формула среднего линейного отклонения (взвешенная) (11.3):

. (11.3)

При использовании показателя среднего линейного отклонения возникают определенные неудобства, связанные с тем, что приходится иметь дело не только с положительными, но и с отрицательными величинами. В результате широкое распространение получили обобщающие показатели, найденные с использованием вторых степеней отклонений. К таким показателям относятся среднее квадратическое отклонение и дисперсия.

Формула средней квадратической простой (11.4):

. (11.4)

Формула средней квадратической взвешенной (11.5):

. (11.5)

Дисперсия- это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формулы дисперсии взвешенной и простой (11.6) и (11.7):

, (11.6) (11.7)

Кроме показателей вариации, выраженных в абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации, выраженные в относительных величинах, особенно для целей сравнения колеблемости различных признаков одной и той же совокупности или для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

Данные показатели , как правило, выражаются в процентах и рассчитываются как:

1) отношение размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции);

2) отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации);

3) отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации).

Формулы расчета относительных показателей вариации (11.8), (11.9), (11.10):

, (11.8), (11.9), (11.10)

где V_R - коэффициент осцилляции; - линейный коэффициент вариации; - коэффициент вариации.

Из приведенных формул видно, что чем больше коэффициент V приближен к нулю, тем меньше вариация значений признака. В статистической практике наиболее часто применяется коэффициент вариации. Он используется не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Необходимо иметь ввиду, что различают случайнуюи систематическую вариации. Только анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов.