Логарифмическая функция ,
Показательные уравнения
Показательная функция
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Системы уравнений с двумя переменными
График и свойства квадратичной функции
– квадратичная функция
Квадратичную функцию можно задать формулой вида .
Доказательство. Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
.
Обозначим и . Получим
График функции – парабола с вершиной в точке . Значит, график функции – парабола с вершиной в точке .
Ось симметрии параболы – прямая .
Парабола пересекает ось Oy в точке (0;с)
Пример 6. Построим график функции .
Решение. Выделим полный квадрат: парабола с вершиной в точке (2; –3). Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке (0;5). |
Задания для решения
12.Найдите вершину параболы, точку пересечения параболы с осью , точки пересечения с осью (если такие есть). Схематически постройте параболу по полученным точкам:
13.Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
Пример 7. Сумма квадратов двух чисел равна 25. Разность чисел равна 1. Найдём числа.
Решение. x – первое число, y – второе число.
Нужно решить систему уравнений:
График уравнения – окружность радиуса с центром в начале координат. График уравнения – прямая линия.
Окружность и прямая пересекаются в двух точках (рисунок 14.7). Значит, система уравнений имеет два решения.
Рисунок 14.7 | – корни уравнения . Найдём соответствующие значения переменной y: Ответ: . |
Пример 8. Найдите количество решений системы уравнений графически.
Рисунок 14.8 | Решение. Графики функций построим схематически. Гипербола получается смещением гиперболы вправо на 1 и растяжением от оси в 2 раза. Вершина параболы находится в точке . Парабола пересекает ось в точке (0;–5) и симметрична относительно прямой . Гипербола и парабола пересекаются в трёх точках. Значит, система уравнений имеет три решении. Ответ: 3 решения. |
– число е.
экспонента.
Пример 1.Построим графики функций и по точкам.
x | -2 | -1 | x | -2 | -1 | |||||||
y | 0,25 | 0,5 | y | 0,5 | 0,25 |
Рисунок 15.1
Графики функций пересекают ось Oy в точке (0;1). Графики функций и симметричны относительно оси Oy. Функция возрастает на всей числовой оси, функция …..
Задания для решения
1.Постройте графики функций методом преобразований или с помощью таблицы значений:
1) , ; и . |
2) , , ; и ; |
3) , и , и ; |
4) , , . |
Свойства функции,
1) ; | 2) ; |
3) ; | 4) ; |
5) . |
Пример 2.Решим показательные уравнения:
логарифм x по основанию а.
Логарифм существует только для положительных чисел.
десятичный логарифм x.
натуральный логарифм x
Пример 2.Построим графики функций и по точкам. Зададим таблицы значений:
x | 0,125 | 0,25 | 0,5 | |||
–3 | –2 | –1 |
x | 0,125 | 0,25 | 0,5 | |||
–1 | –2 |
Рисунок 15.2
Функция возрастает, функция ….
Функция пересекает ось Ox в точке (1;0).
Задания для решения
2.Постройте графики функций:
а) ; | б) ; |
б) ; | в) . |
3.Постройте графики функций
а) , б) , в) .
Чем отличаются эти графики?