Логарифмическая функция ,

Показательные уравнения

Показательная функция

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

Системы уравнений с двумя переменными

График и свойства квадратичной функции

– квадратичная функция

Квадратичную функцию можно задать формулой вида .

Доказательство. Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:

.

Обозначим и . Получим

 

График функции – парабола с вершиной в точке . Значит, график функции – парабола с вершиной в точке .

Ось симметрии параболы – прямая .

Парабола пересекает ось Oy в точке (0;с)

Пример 6. Построим график функции .

  Решение. Выделим полный квадрат:   парабола с вершиной в точке (2; –3). Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке (0;5).

Задания для решения

12.Найдите вершину параболы, точку пересечения параболы с осью , точки пересечения с осью (если такие есть). Схематически постройте параболу по полученным точкам:

 

13.Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

 

 

 

Пример 7. Сумма квадратов двух чисел равна 25. Разность чисел равна 1. Найдём числа.

Решение. x первое число, y – второе число.

Нужно решить систему уравнений:

 

График уравнения – окружность радиуса с центром в начале координат. График уравнения – прямая линия.

Окружность и прямая пересекаются в двух точках (рисунок 14.7). Значит, система уравнений имеет два решения.

 

  Рисунок 14.7   – корни уравнения . Найдём соответствующие значения переменной y:   Ответ: .  

Пример 8. Найдите количество решений системы уравнений графически.

 

  Рисунок 14.8 Решение. Графики функций построим схематически. Гипербола получается смещением гиперболы вправо на 1 и растяжением от оси в 2 раза. Вершина параболы находится в точке . Парабола пересекает ось в точке (0;–5) и симметрична относительно прямой . Гипербола и парабола пересекаются в трёх точках. Значит, система уравнений имеет три решении. Ответ: 3 решения.

 

– число е.

экспонента.

Пример 1.Построим графики функций и по точкам.

       
x -2 -1   x -2 -1
y 0,25 0,5   y 0,5 0,25

 

Рисунок 15.1

Графики функций пересекают ось Oy в точке (0;1). Графики функций и симметричны относительно оси Oy. Функция возрастает на всей числовой оси, функция …..

Задания для решения

1.Постройте графики функций методом преобразований или с помощью таблицы значений:

1) , ; и .
2) , , ; и ;
3) , и , и ;
4) , , .

Свойства функции,

1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) .

Пример 2.Решим показательные уравнения:

   

логарифм x по основанию а.

 

Логарифм существует только для положительных чисел.

десятичный логарифм x.

натуральный логарифм x

Пример 2.Построим графики функций и по точкам. Зададим таблицы значений:

x 0,125 0,25 0,5
–3 –2 –1

 

x 0,125 0,25 0,5
  –1 –2

 

Рисунок 15.2

Функция возрастает, функция ….

Функция пересекает ось Ox в точке (1;0).

Задания для решения

2.Постройте графики функций:

а) ; б) ;
б) ; в) .

3.Постройте графики функций

а) , б) , в) .

Чем отличаются эти графики?