Выражение мощности в комплексной форме

Применим к (5.19) (5.11), тогда

(5.20)

Коэффициент

[вар] (5.21)

называется реактивной мощностью, обозначается Q и измеряется в вольт-амперах реактивных [вар].

Теперь общее выражение для мгновенной мощности всей цепи (рис.3.1) можно записать в виде

(5.22)

Второе и третье слагаемые в (5.22) свернем как косинус суммы аргументов - . Тогда

(5.23)

Таким образом, мгновенная мощность цепи содержит постоянную и переменную составляющие. Переменная составляющая изменяется относительно постоянной с удвоенной частотой (рис.5.4). Амплитудное значение переменной составляющей обозначают S и называют полной мощностью цепи

[ВА]. (5.24)

Полная мощность в раз превышает постоянную составляющую (активную мощность). Поэтому график мгновенной мощности заходит в область отрицательных значений. Величина области отрицательных значений определяется коэффициентом мощности. Физически эта область определяет моменты времени, в которые цепь возвращает энергию источника.

Если умножить все стороны треугольника сопротивлений (рис.3.2) на , то получим треугольник мощностей (рис.4.5). В этом треугольнике гипотенуза - полная мощность S, прилежащей к острому углу катет - активная мощность Р, а противолежащий - реактивная мощность Q. Угол определяется сдвигом фаз между током и напряжением цепи и задает значение коэффициента мощности. Для треугольника очевидны выражения

(5.25)

(5.26)

Полная мощность S это теоретически достижимая, расчетная мощность, По значению S производятся расчеты сечения проводов, изоляции, параметры приемников электрической энергии. Из-за сдвига фаз мощность полностью не реализуется. Поэтому и получил название коэффициента мощности. Всегда стремятся обеспечить его высоким.

Широкое применение комплексного представления тока и напряжения в процессе анализа электрических цепей предполагает найти комплексное представление для активной, реактивной и полной мощности. На первый взгляд эта задача не должна вызывать затруднений. Достаточно в выражение для мощности подставить комплексные ток и напряжение. Посмотрим, так ли это?

Пусть заданы комплексные ток и напряжение .

Тогда их произведение должно представлять полную мощность цепи:

Правая часть полученного выражения должна определять активную (действительную часть) и реактивную (мнимая часть) мощности. Но слагаемые правой части не соответствуют выражениям (5.16) и (5.21), так как в последних сдвиг фаз определяется разностью

Чтобы устранить такое несоответствие пользуются искусственным приемом. Под комплексным изображением полной мощности понимают произведение комплексного напряжения на комплексно-сопряженный ток. Напомним, что два комплексных числа и называются взаимно сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком:

При таком определении комплексная мощность цепи определится выражением:

т.е.

(4.27)

Знак «тильда» означает комплекс полной мощности, составленный при участии сопряженного комплекса тока. Действительная часть комплексной мощности есть активная мощность, а мнимая часть - реактивная мощность. Модуль комплексного представления - полная мощность.