Активная, реактивная, полная мощность
Мгновенная мощность цепи с RL и С элементами
Комплексная проводимость
В цепях постоянного тока проводимость резистора определяется отношением тока к напряжению:
Эта величина обратно пропорциональна сопротивлению.
В цепях переменного тока следует пользоваться понятием комплексной проводимости, которая обозначается Y и, в общем случае, содержит действительную G и мнимую В части:
Как и в цепях постоянного тока, комплексная проводимость участка цепи обратна комплексному сопротивлению, т.е.:
Отсюда
, , , (4.16)
где У - модуль комплексной проводимости.
Соотношение между составляющими комплексной проводимости аналогичны соотношениям между составляющими комплексного сопротивления.
Комплексная проводимость резистора:
(4.17)
Комплексная проводимость конденсатора:
(4.18)
Комплексная проводимость индуктивности:
(4.19)
В заключение отметим, что комплексное сопротивление удобно применять для анализа участков электрической цепи с последовательным включением элементов, а комплексную проводимость - для участков с параллельным включением элементов.
ЛЕКЦИЯ 5 (2часа)
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
В общем случае мгновенная мощность определяется произведением тока на напряжение:
. (5.1)
Определим мгновенную мощность для цепи с последовательно включенными R, L и С элементами (рис.3.1). Пусть в этой цепи протекает ток
. (5.2)
Он одинаков для всех элементов цепи.
Напряжение цепи определяется суммой падений напряжений на отдельных элементах
. (5.3)
С учетом выражений (1.8) и (1.11) перепишем (5.3):
. (5.4)
Подставляя в (4.4) выражение для i(t) и, решая его, получим
. (5.5)
Теперь, подставляя (5.2) и (5.5) в (5.1) находим выражение для мгновенной мощности цепи рис. 3.1:
. (5.6)
Выражение (5.6) показывает, что мгновенная мощность цепи определяется суммой слагаемых мощностей каждого из элементов. Это требует более детального анализа (5.6).
Для анализа (5.6) применим известные из курса тригонометрии формулы преобразования:
.
Применяя их к (5.6) получим:
, (5.7)
где I - действующее значение тока, причем .
Первые два слагаемых в (5.7) определяют мгновенную мощность, выделяемую на элементе R. Можно записать, что:
. (5.8)
Как видно из (5.8) мгновенная мощность рR(t) содержит постоянную составляющую Р = RI2 и переменную, меняющуюся с удвоенной частотой. График рR(t) приведен на рис. 5.1. График наглядно показывает, что мощность рR(t) всегда положительна и изменяется от 0 ( в момент t=0, k×T/2) до 2RI2 ( в моменты (2k-1)× T/4), Т=2p/w - период тока.
Ū |
φ |
Ū |
L |
Ū |
L |
Ū |
C |
Ū |
a |
Ū |
r |
Ū |
C |
Рис. 5.2 |
i(t) |
i(t) |
P(t) |
P (t) |
C |
P (t) |
L |
t |
Рис. 5.3 |
Рис. 5.1 |
P(t) |
P(t) |
t |
i(t) |
Р |
i(t) |
Среднее за период значение мощности обозначают Р и называют активной мощностью, причем:
(4.9)
Для более детального анализа мгновенной мощности РR(t) обратимся к выражению (5.5). Этому выражению соответствует векторная диаграмма рис.4.2. В ней в качестве исходного принят вектор тока . Вектор напряжения на индуктивности опережает ток, а на емкости отстает от тока на 90о. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током.
Проведем сложение векторов. Для этого начало вектора переместим в точку конца вектора , а начало вектора - в точку конца вектора . Результатом сложения является вектор выходящий из начала вектора в конец вектора . Угол j определяет сдвиг фаз между током и результирующим напряжением, т.е.
Соединим точки концов двух векторов - и . Обозначим вновь полученный вектор . Образовавшийся треугольник из векторов называют треугольником напряжений. Для него справедливы следующие выражения:
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
Возвратимся вновь к анализу мгновенной мощности, выделяемой на элементе R - РR(t). С учетом (5.10) перепишем (5.8) в виде
(5.14)
Первое слагаемое в правой части полностью соответствует (5.9) т.е. определяет активную мощность
[Вт] (5.15)
Выражение (5.15) используется в практике намного чаще, так как определяет зависимость активной мощности от сдвига фаз между действующими значениями тока и напряжения цепи. В силу этого коэффициент cos j называют коэффициентом мощности и обозначают l
. (5.16)
Обратимся к исходному выражению для мгновенной мощности цепи - (5.7). В нем третье и четвертое слагаемые определяют мощность, выделяемую на реактивных элементах – индуктивности
(5.17)
и емкости
(5.18)
Каждое из этих слагаемых изменяются с удвоенной (относительно тока) частотой, но имеют противоположные фазы (рис.5.3). Так как постоянная составляющая в (5.17) и (5.18) отсутствует, то среднее значение каждого из них равно нулю. Однако сумма РL(t) и РC(t) отлична от нуля и определяет мгновенную мощность реактивных элементов (участков) цепи. Определим ее:
(5.19)