Обзор методов расчета сильфонов.
Характеристика достаточно близка к линейной.
Нелинейность может достигать 20-30%, следовательно, расчет следует проводить с учетом нелинейности.
Нелинейная теория тонких оболочек.
I. Первая попытка расчета в линейной постановке была осуществлена Королевым.
Сильфон представлен в виде набора пластин, жестко соединенных друг с другом по наружному и внутреннему контуру.
Толщину осредняем по средним кубам толщины.
; .
Если ,
;
; ; ,
где - число гофров,
- жесткость сильфона.
Такие расчеты неприменимы для сильфонов с малой глубиной гофров . Не учитывается деформация тороидальных участков.
Используя эту схему, можно определить .
;
;
,
так как .
На практике эффективную площадь определяют по среднему радиусу:
;
.
Схема Королева позволяет также решать задачу об изгибной жесткости сильфона.
;
;
.
Сильфон может терять устойчивость.
, ;
;
;
;
.
II. Более перспективным оказалось использование энергетического метода.
Определение чувствительности сильфона с учетом особенностей геометрии гофра было выполнено Феодосьевым методом Ритца.
Характер искривления меридиана сильфона был принят таким же, как и для криволинейного стержня переменного сечения, условия закрепления которого соответствуют таковым для элемента полуволны сильфона.
Здесь , , , - коэффициенты от безразмерных параметров.
; ; .
В отличие от , , учитывает деформацию торцовых участков и величину угла уплотнения гофров :
,
где - шаг гофрировки.
Метод Ритца.
.
Наделяем сильфон этим углом поворота:
; .
,
предложение Феодосьева о распределении толщины заготовки подходит для гидростатической формовки.
.
III. Более строгое решение получено численным методом на ЭВМ по уравнениям тонких упругих оболочек.
Введение ЭВМ позволило отказаться от многих упрощений при выборе расчетной схемы.
Сильфон рассчитывается по схеме сопротивления тороидальных и конических оболочек на основе уравнений Мейсснера (см. В.С. Чернина, «Статика тонкостенных оболочек вращения», стр.78 (осесимметричнная (осесимметричная) деформация)).
Переменные и :
где - угол поворота;
- функция напряжений (усилий), через которую выражаются усилия.
Расчет проводится в линейной постановке.
Однако с увеличением нагружения форма сильфона существенно изменяется, что вызывает перераспределение внешних усилий и приводит к нелинейным зависимостям между нагрузкой, усилиями и перемещениями.
На основе системы нелинейных уравнений (Рейснер, 1950г.) было выполнено численное решение сильфонов в нелинейной постановке ([2], стр.145).
Предполагается, что все волны, кроме краевых, находятся в одинаковых условиях.
Для точек 0 и 1 угол поворота нормали и перерезывающая сила :
; .
Перерезывающая сила может быть выражена через функцию радиального усилия .
Геометрия оболочки задается функциями:
; ,
где , ,
- характерный размер сильфона.
Решение дифференциальных уравнений на ЭВМ позволяет получить перемещение и напряжения в бесшовном однослойном сильфоне произвольного профиля при любом законе изменения толщины вдоль меридиана. На основании этих решений были построены номограммы.
- мембранные напряжения в меридиональном и окружном направлении;
- изгибные напряжения.
Определяющим являются изгибные напряжения :
;
,
индексом «в» обозначено внешнее, «н» - наружное.
Положение опасной точки не определено. В зависимости от нагрузки она может находиться на вершине или на впадине гофра на наружной или внутренней стороне.
В условиях силовой компенсации:
.
Расчет при помощи номограмм (см. [2], стр.277-282).
; ; .
Обозначения:
- безразмерная жесткость;
- свободный ход;
- условие силовой компенсации;
, , , .
; ;
.