Мембраны. Лабораторная работа «Оптимизация».

Вывод нелинейных уравнений тонкостенной оболочки вращения.

Равновесие центральной части оболочки.

Уравнения совместности деформаций.

Метод наложения для определения упругой характеристики гофрированной мембраны.

;

;

.

В случае абсолютно гибкой изотропной пластинки:

 

где - параметр нагрузки.

Уравнения системы решается методом Бубнова-Галеркина.

,

что соответствует форме упругой поверхности, близкой к сферической.

.

Решение ищем в виде:

.

Граничные условия:

1) ; ;

2)

; ;

; ;

;

;

 

;

.

Постоянную можно выразить через прогиб :

;

; ;

;

;

.

 

Деформация срединной поверхности обозначается с индексом «0».

 

; ;

;

;

;

;

;

;

; ;

;

 

;

.

 

;

;

;

 

 

;

 

;

.

Третье уравнение – уравнение суммы моментов относительно касательной в окружном направлении:

 

;

 

При исследовании манометрических элементов на ЭВМ используются дифференциальные уравнения тонкостенной оболочки вращения в больших перемещениях (пружины Бурдона, сильфоны).

При выводе этих уравнений будем исходить из обычных гипотез теории оболочек (гипотезы Кирхгофа), считаем, что . Величина может быть переменной по диаметру. Перемещения большие, , однако (не хватает запятой) задача ограничивается областью упругих деформаций. .

Нелинейные дифференциальные уравнения для пологой оболочки вращения.

, , , .

После нагружения угол .

 

, и - соизмеримы.


Величина называется цилиндрической жесткостью. Заменяя моменты и в уравнении выражениями , получим дифференциальное уравнение равновесия круглой пластинки при изгибе:

 

где поперечная сила в рассматриваемом случае определяется выражением .

Интегрируя уравнение , найдем угол поворота нормали к срединной поверхности:

 

Постоянные и определяются из граничных условий. В центре пластинки и у заделки угол поворота . Отсюда и . Подставляя и в решение , получим:

 

Зная угол поворота , можно найти прогиб с помощью выражения :

.

Подставляя сюда угол в соответствии с формулой и произведя интегрирование, получим:

 

Постоянная определяется из условия, что у заделки (т.е. при ) прогиб отсутствует, . Отсюда

.

Тогда уравнение упругой поверхности плоской мембраны при малых перемещениях примет вид:

.

Прогиб центра мембраны равен

 

Заменяя величину цилиндрической жесткости по формуле , получим при значении :

 

Уравнение выражает в безразмерной форме характеристику плоской мембраны, нагруженной давлением в области малых прогибов. Эта характеристика линейна.

Изгибные напряжения распределяются по линейному закону; их наибольшие значения определяются выражениями при :

 

а)

 

б)

 

в)

 

На рисунке показаны эпюры напряжений в верхних слоях пластинки (б), эпюры изгибных напряжений по толщине стенки (а), напряженное состояние точек и (в). Эквивалентное напряжение в этих точках можно определить, пользуясь, например, теорией энергии формоизменения для плоского напряженного состояния:

,

где и - главные напряжения.

В центре мембраны (точка ) главные напряжения равны:

;

.

При эквивалентное напряжение .

На краю мембраны (точка ):

; ;

; .

Таким образом, опасной будет точка у заделки мембраны. Величина допускаемого давления определяется из условия

;

;

Найдем связь между величинами напряжений в пластинке и ее прогибом. Для этого в формулах выразим давление через прогиб центра по формуле . Радиальные и окружные напряжения в точках поверхности на наружном контуре :

; .

и в центре мембраны :

.