Мембраны. Лабораторная работа «Оптимизация».
Вывод нелинейных уравнений тонкостенной оболочки вращения.
Равновесие центральной части оболочки.
Уравнения совместности деформаций.
Метод наложения для определения упругой характеристики гофрированной мембраны.
;
;
.
В случае абсолютно гибкой изотропной пластинки:
где - параметр нагрузки.
Уравнения системы решается методом Бубнова-Галеркина.
,
что соответствует форме упругой поверхности, близкой к сферической.
.
Решение ищем в виде:
.
Граничные условия:
1) ; ;
2)
; ;
; ;
;
;
;
.
Постоянную можно выразить через прогиб :
;
; ;
;
;
.
Деформация срединной поверхности обозначается с индексом «0».
; ;
;
;
;
;
;
;
; ;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
Третье уравнение – уравнение суммы моментов относительно касательной в окружном направлении:
;
При исследовании манометрических элементов на ЭВМ используются дифференциальные уравнения тонкостенной оболочки вращения в больших перемещениях (пружины Бурдона, сильфоны).
При выводе этих уравнений будем исходить из обычных гипотез теории оболочек (гипотезы Кирхгофа), считаем, что . Величина может быть переменной по диаметру. Перемещения большие, , однако (не хватает запятой) задача ограничивается областью упругих деформаций. .
Нелинейные дифференциальные уравнения для пологой оболочки вращения.
, , , .
После нагружения угол .
, и - соизмеримы.
Величина называется цилиндрической жесткостью. Заменяя моменты и в уравнении выражениями , получим дифференциальное уравнение равновесия круглой пластинки при изгибе:
где поперечная сила в рассматриваемом случае определяется выражением .
Интегрируя уравнение , найдем угол поворота нормали к срединной поверхности:
Постоянные и определяются из граничных условий. В центре пластинки и у заделки угол поворота . Отсюда и . Подставляя и в решение , получим:
Зная угол поворота , можно найти прогиб с помощью выражения :
.
Подставляя сюда угол в соответствии с формулой и произведя интегрирование, получим:
Постоянная определяется из условия, что у заделки (т.е. при ) прогиб отсутствует, . Отсюда
.
Тогда уравнение упругой поверхности плоской мембраны при малых перемещениях примет вид:
.
Прогиб центра мембраны равен
Заменяя величину цилиндрической жесткости по формуле , получим при значении :
Уравнение выражает в безразмерной форме характеристику плоской мембраны, нагруженной давлением в области малых прогибов. Эта характеристика линейна.
Изгибные напряжения распределяются по линейному закону; их наибольшие значения определяются выражениями при :
а)
б)
в)
На рисунке показаны эпюры напряжений в верхних слоях пластинки (б), эпюры изгибных напряжений по толщине стенки (а), напряженное состояние точек и (в). Эквивалентное напряжение в этих точках можно определить, пользуясь, например, теорией энергии формоизменения для плоского напряженного состояния:
,
где и - главные напряжения.
В центре мембраны (точка ) главные напряжения равны:
;
.
При эквивалентное напряжение .
На краю мембраны (точка ):
; ;
; .
Таким образом, опасной будет точка у заделки мембраны. Величина допускаемого давления определяется из условия
;
;
Найдем связь между величинами напряжений в пластинке и ее прогибом. Для этого в формулах выразим давление через прогиб центра по формуле . Радиальные и окружные напряжения в точках поверхности на наружном контуре :
; .
и в центре мембраны :
.