Проблемы Гильберта
8 августа 1900 года в Париже на заседании второго Международного конгресса математиков Д. Гильберт выступил с докладом «Математические проблемы».
Доклад был необычен. Он не включал в себя новых теорем, не предлагал решений никаких проблем. Напротив, он содержал формулировки двадцати трех проблем, решение которых, по замыслу докладчика, должно было стать главным стимулом развития математики в 20 столетии.
«Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли? — такими словами Д. Гильберт начал свой доклад. Затем он продолжал. — История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математики в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным». И Гильберт предлагает вниманию слушателей двадцать три проблемы из различных областей математики, «исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки».
Решение каждой из двадцати трех проблем Гильберта, даже каждый частичный успех в их решении принимаются всем математическим миром как крупное математическое достижение. В чем секрет такой популярности гильбертовских проблем, той значимости, которое придается их решению? Ведь число нерешенных задач, поставленных в математической литературе, огромно, и лишь некоторые из них (как, например, проблема Ферма) приобретают широкую известность. А здесь не одна, а целых двадцать три задачи, некоторые из которых — не просто задачи в узком смысле этого слова, а планы разработки целых математических направлений!
Первые шесть проблем доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисциплин, следующие девять — к более специальным вопросам алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел, остальные восемь — к теории функций, дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению. Следует отметить, что некоторые из этих проблем были поставлены задолго до Гильберта. Так, первая в списке — проблема континуума — была поставлена Г. Кантором в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К.Гауссом в его переписке с Герлингом. Что касается вопросов, составляющих содержание восьмой проблемы, то один из них — гипотеза о нулях дзета-функции— был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый гипотезой Гольдбаха, — еще в 1742 году в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема — задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором которых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти обстоятельства подчеркивают особый характер выбора проблем, содержащихся в докладе,— здесь лишь те наиболее важные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед математикой, размышления над которыми могли помочь «представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем».
Дальнейший ход событий показал, что выбор проблем, сделанный Гильбертом, был в основном правильным: разработка идей, связанных с их содержанием, составила значительную часть математики XX века. В решении этих проблем принимали участие очень многие талантливые математики из различных стран мира, в том числе сам Гильберт и его многочисленные ученики. Замечательное место среди них принадлежит отечественным математикам. В то время Россия не была еще мощной математической державой, подобной Германии или Франции, хотя и обладала уже признанными математическими школами и дала миру ряд выдающихся математиков, среди них — величайших математических гениев — Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева. Однако золотой век отечественной математики был еще впереди. На конгрессе в Париже русская делегация была сравнительно небольшой— 9 человек (сравните: Франция — 90, Германия — 25) и выступила всего с одним сообщением «Об исчезновении (мы бы сказали — о нулях — С. Д.) функции Н нескольких переменных», которое сделал харьковский профессор М. А. Тихомандрицкий.