Критерий устойчивости Гурвица
Для формулировки критерия Гурвица составим из характеристического уравнения определитель n-го порядка.
На главной диагонали, которого располагаются коэффициенты в порядке возрастания их индексов, начиная с a1 кончая an. В каждом столбце при движении от элемента, находящегося на главной диагонали, вверх индексы коэффициентов возрастают, вниз убывают, при этом на месте элементов с индексами, превышающими n (при движении вверх) и отрицательными индексами (при движении вниз), проставляются нули. Запишем частные миноры определителя
и.т.д.
Назовем эти миноры, включая определитель , определителями Гурвица.
Формулировка критерия устойчивости Гурвица
Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица, составленные из коэффициентов её характеристического уравнения, были больше нуля (при a0>0).
i=1,n при a0>0
Из этого критерия следует, что при n=3, необходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид.
Пример. Используем устойчивость системы в разомкнутом и замкнутом состояниях. Характеристическое уравнение разомкнутой системы . Необходимое условие не выполняется, т.к. при l коэффициент a2=0. Поэтому разомкнутая система неустойчива.
Характеристическое уравнение замкнутой системы.
Проверим
Замкнутая система устойчива.