Полиномиальная формула и формула бинома.
Пусть требуется вычислить выражение , т.е. перемножив n скобок, привести его к виду
Числа называются полиномиальными коэффициентами. Найдем эти числа. В соответствии с правилами алгебры из каждой скобки выбирается один из символов и они перемножаются. Коэффициенты получаются в результате приведения подобных членов в полученной таким образом сумме произведений. Таким образом коэффициент равен числу последовательностей длины n, составленных из символов , причем символ используется раз. В соответствии с 1.1 число таких последовательностей равно . Это дает полиномиальную формулу: .
В частном случае, когда в n- ую степень возводится двучлен, она используется наиболее часто и называется биномом Ньютона
Из школьного курса математики известны частные случаи этой формулы при n=2 и n=3.
Приведем важнейшие тождества для биномиальных коэффициентов
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .
Тождество 1 уже известно. Тождество 2 можно получить с помощью следующего рассуждения. Выделим в - элементном множестве один из элементов. Каждое - элементное подмножество либо содержит, либо не содержит выделенный элемент. Подмножеств первого типа , второго - .
Третье и четвертое тождества следуют, как это показано, из формулы бинома, причем третье тождество выражает тот факт, что n- элементное множество имеет 2n подмножеств. Пятое тождество получим, если рассмотрим разбиение - элементного множества на - элементное и - элементное. Шестое тождество следует из пятого, если положить.
Отметим, что биномиальные коэффициенты растут по i от 0 до [i/2] и убывают от ] i/2 [ до n. При n- четном максимальный коэффициент один -, при n- нечетном максимальных коэффициентов два - и .
При больших n биномиальные коэффициенты могут быть оценены с помощью асимптотической формулы Стирлинга
, .
Тест
1. Коэффициент при в разложении (x1+x2+x3)10 равен а) 103; б) ; в) .
2. Коэффициент при а3b3с4 в разложении равен а)12; б) 24; в) 18.
3. Коэффициент при t17 в разложении равен а); б) 0; в) .