Интегрирование по частям

Использование формул тригонометрии

Интегрирование методом разложения подынтегральной функции на сумму функций

Постановка задачи

В дифференциальном исчислении решали задачу : дана функция f(x) , найти её производную f’(x). Сейчас поставим задачу : дана функция f(x), найти такую функцию F(x), производная которой равнялась бы этой функции, то есть

F’(x) = f(x)

Определение.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) , если выполняется условие F’(x) = f(x) или dF(x) = f(x) dx.

Пример.Найти первообразную для функции f(x) = x² .

Решение.F(x) = , так как = ( F(x) + C )‘ = F’(x) = f(x)

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.

D по 1-му свойству

f₁ (x) f₂(x) = f₁ (x) f₂(x) ч.т.д.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

6.

7.

8.

9. Теорема (об инвариантности формул интегрирования).

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от неё, то есть если то и , где u= .

Доказательство. Если то F’(x) = f(x) . Возьмём теперь F(u) = F[ , то dF(u) = F’(u)du = f(u)du , то есть С, то есть

, n

5.

7. 18. 19. 20. 21. 22.

14. + c

16.

Примеры.Вычислить интегралы:

1). = {применим формулу(5)} =

2).

3.)

4). =

5).

6) .

7).

8).

9).

Вывод.Если числитель подынтегральной функции является производной от знаменателя , то интеграл равен логарифму абсолютной величины знаменателя.

Приведём вывод некоторых формул из таблицы.

= , аналогично

.

ЛЕКЦИЯ 14. Основные приёмы и методы интегрирования

Примеры.1). Вычислить

2) Вычислить = = - 2 – (arcsin +c.

Примеры.1). Вычислить dx=

2). Вычислить

3). Вычислить

III . Интегрирование методом замены переменной ( или подстановкой)

Пусть надо вычислить , сделаем замену переменной .

Пример. Вычислить =

=3 .

d(u ,проинтегрируем обе части этого равенства

, по свойствам интеграла получаем

u или эта формула называется формулой интегрирования по частям, она применяется при вычислении интегралов следующего вида:

1). В этих интегралах u(x)= P(x)dv - всё остальное.

Пример.Вычислить интеграл = = +

2). ;

. В таких интегралах обозначают u(x) - трансцендентную

функцию ; dv – всё остальное.

Пример.Вычислить = - .

3). . Эти интегралы вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Пример. Вычислить =

= = – . Перенесём все члены этого равенства в одну сторону и приведём подобные члены, получим ).

Замечание.В этом интеграле можно было принять за u = решение всё равно имело бы такой вид.

4). Интегралы вида : ; ; .

Вычислим = = - .

=+c

Аналогично можно получить

+c.

ЛЕКЦИЯ 15. Интегрирование рациональных дробей

Определение.Дробно –рациональной функцией или просто рациональной дробью называется функция вида R(x) = многочлен степени m , многочлен степени n. Например R(x) = .

Определение.Рациональная дробь называется правильной, если m < n , в

противном случае дробь называется неправильной.

Теорема.Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена целоё степени и правильной рациональной дроби.

R(x) = L(x) + .

Пример 1.Представить неправильную R(x) = дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

x +5 R(x) = = (x+5) +

5x³ +10x -5

-2x²-15x

Таким образом интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочлена L(x) и правильной рациональной дроби , то есть