Пример. Комбинированным методом хорд и каса­тельных найти корень уравнения

F(х) = Зх - cos х - 1 = 0 на отрезке [0; 1] с точностью e = 10^-4

Так как F(х) непрерывная функция, a F’(x) = 3 +sin х > 0, х Î R; F(0) = -2 < 0 и F(1) = 2 - cos1 > 0, то на отрезке [0; 1] имеется единственный корень уравнения. Вторая производная

F”(x) = cos х> 0, х Î [0; 1].

Условие F(х)•F”(x) > 0 выполняется в точке х = 1, то есть F(1)•F(2) > 0. Следовательно, уточнение корня выполняем по формулам:

Вычисления на ЭВМ оформляем в табл. 8, в которую введены промежуточные графы, облегчающие вычисление значений функции и производной.

Таблица 8 Расчетная таблица метода хорд и касательных

	Xn			F(xn)				xn - F(xn)
n	(9):(8)	(3) –(6): (7)	(3) - (2)	3*(2) - соs(2) – 1	3*(3) – cos(3) - 1	3 + sin(3)	(6) - (5)	(6)*(2)- (5)*(3)
				-2	1,459697	3,841471	3,459697
	0,5780853	0,6200162	0,0419309	-0,1032551	0,0461796	3,581048	0,1494401	0,0907188
	0,6070577	0,6071207	0,0000630	xср=0.5 (- x2) = 0,607089

О точности полученных приближений (x₂, , x_cp) можно судить по невязке:

F(x₂) = F(0,6070577) = - 0,0001569,

F() = F(0,6071207) = 0,0000681,

F(x_cp) = F(0,6071) = 0,000006.

5. Метод последовательных приближений (итераций)

Сущность метода. Для нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная функция на [a; b], его заменяют равносильным уравнением

х = j(х) (14)

Это можно сделать всегда, притом не одним способом. Например, уравнение

х³ - 9х + 3 = 0

можно представить так:

Пусть известен отрезок изоляции корня [a; b], тогда за начальное приближение искомого корня уравнения (14) берут: Подставляя значение х₀ в правую часть уравнения (14), получают первое приближение х₁ = j(х₀). В качестве второго приближения берут х₂ = j(х₁). Продолжая этот процесс дальше, получают числовую последовательность (х_n), определенную с помощью рекуррентной формулы:

x_n+1 = j(x_n), (n = 0, 1, 2, ...) (15)

Полученная последовательность х₀, х₁, ..., x_n, x_n+1,... называется итерационной последовательностью, способ построения ее называется методом последовательных приближений или методом итераций численного решения уравнения.

При пользовании методом итераций необходимо выяснить основной вопрос: сходится ли полученная последовательность (х_n) к решению х^* уравнения (14) при возрастании n? Если последовательность (х_n) сходится, то есть существует предел х^* = то, переходя к пределу в равенстве (15) и, предполагая, что функция j(х) непрерывна, получаем:

или x^* = j(x^*). (16)

Следовательно, в этом случае х = х^* является корнем уравнения х = j(х), а значит, и уравнения F(x) = 0.

Если же последовательность (х_n) окажется расходящейся, то есть не существует конечного предела построенной последовательности приближений (х_n), то это означает, что процесс итераций построен неудачно, и его надо заменить другим.

Следовательно, метод последовательных приближений применим при выполнении условия:

½j‘(x)½ £ M₁ < 1 (18)

для всех х, принадлежащих отрезку изоляции корня уравнения (14), В этом случае процесс итераций сходится, и тем быстрее, чем меньше М₁; если же ½j‘(x)½ > 1, то итерационный процесс расходится. Для конкретной оценки величины m₁, определяющей скорость сходимости, проще всего пользоваться формулой: М₁ = max½j‘(x)½, где max берется по отрезку изоляции корня [а: b].