Применение численных методов для вычисления кратных интегралов

Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида

, (7.14)

G – область интегрирования. Например,

Одним из простейших методов вычисления интеграла (7.14) является метод ячеек. Будет рассмотрен случай, когда область интегрирования G является прямоугольником:

По теореме о среднем найдем среднее значение функции f(x, y):

, (7.15)

где S – площадь области интегрирования G.

Будем считать, что среднее значение приблизительно равно значению функции в центре прямоугольника, т.е.

,

где - координаты центра прямоугольника. Теперь из (7.15) можно получить выражение для приближенного вычисления двойного интеграла:

(7.16)

Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейки ΔG_ij (см. рис. 7.3). В пределах ячейки ΔG_ij

, (i = 1, 2, 3, …, m);

, (j = 1, 2, 3, …, n).

Здесь m и n – количество элементарных отрезков соответственно на осях х и у (количество узловых точек соответственно равно m+1 и n+1). Количество ячеек равно m∙ n. Длины сторон ячеек (длины элементарных отрезков): , .

Рис. 7.3. Схема метода ячеек

Применяя к каждой ячейке ΔG_ij формулу (7.16), получим:

(7.17)

Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла

. (7.18)

В правой части стоит интегральная сумма. Поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивании их в точки при и ). Эта сумма стремится к точному значению интеграла для любой непрерывной функции f(x, y).

Для повышения точности используют обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число

раз, т.е. отношение m/n остается постоянным.

Другим довольно распространенным методом вычисления кратных интегралов является их сведение к последовательному вычислению определенных интегралов. Интеграл I для прямоугольной области можно записать в виде

(7.19)

Для вычисления обоих определенных интегралов могут быть использованы рассмотренные ранее численные методы. Например, метод трапеций.