Методы прямоугольников и трапеций

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой

; (7.5)

. (7.6)

В качестве точек ξ_i выберем средние точки элементарных отрезков [x_i-1, x_i]:

. (7.7)

Тогда (7.5) и (7.6) запишутся так:

; i=1,2,…,n. (7.8)

Формула (7.8) и есть формула прямоугольников. Эта формула использует интерполяцию нулевого порядка (кусочно постоянную) (см. рис. 7.1).

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции у=f(x) представляется в виде ломанной, соединяющей точки с координатами (x_i-1, y_i-1) и (x_i, y_i). В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций (рис. 7.2).

Площадь каждой элементарной трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

; (i= 1,2, … , n) . (7.9)

Складывая площади элементарных фигур, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:

. (7.10)

Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численных интегрирований с постоянным шагом h_i = h = const

Рис. 7.2. Схема к выводу формулы трапеций

( i = 1, 2, …, n). Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид:

, (7.11)

(7.12)