Дальнейшие шаги

Формула (10) не содержит явно номера задаваемого ею простого числа. Описанный выше способ построения экспоненциального многочлена R не даёт прямого пути для включения номера простого числа в формулу (10). Используя существенно более сложную технику, Мартин Дейвис, Хилэри Патнам и Джулия Робинсон в 1961 году доказали одну очень сильную теорему, которая имеет такое следствие.

Существует экспоненциальный многочлен P(n, x₀, ..., x_k ) такой, что при каждом фиксированном значении параметра n и произвольных значениях остальных переменных, многочлен P принимает ровно одно положительное значение, и этим значением является n-е простое число.

В 1970 году автору этой статьи удалось, используя другие результаты Джулии Робинсон, построить такое диофантово уравнение:

которое разрешимо тогда и только тогда, когда параметры a, b и c связаны соотношением a = b^c. Этот результат позволяет опустить в формулировке предыдущей теоремы слово «экспоненциальный», то есть позволяет построить многочлен, задающий простые числа. Об этом, однако, мы поговорим в другой раз. Те же читатели, кого заинтересовала подобная тематика и кого не страшат трудности, могут попробовать самостоятельно разобраться в статье автора «Диофантовы множества», опубликованной в журнале «Успехи математических наук», т. XXVII, № 5, 1972 год.