Теорема Е. М. Райта

В 1947 году В. X. Миллс опубликовал следующий результат:

Существует вещественное число λ такое, что при любом n = 1, 2, ... число

является простым .

Впоследствии появился ещё ряд формул такого же типа. Однако все это были результаты, формулировка которых выглядит заманчивой и многообещающей, но доказательство разочаровывает. Тому, кто хочет понять, почему это так, мы предлагаем разобраться в доказательстве следующей теоремы Е. М. Райта:

Существует вещественное число μ такое, что всякое число вида

является простым.

Ключевым пунктом в доказательстве теоремы Райта является так называемый постулат Бертрана. Согласно этому постулату при x≥4 между x и 2x–2 всегда есть простое число. Эту гипотезу впервые высказал французский математик Бертран: доказать её он не смог, а потому использовал в своих рассуждениях в качестве недоказуемого постулата. Доказательство гипотезы Бертрана было найдено впоследствии выдающимся русским математиком П. Л. Чебышёвым.

Чтобы найти нужное число μ выберем сначала последовательность простых чисел q₁, q₂, ..., такую, что при любом n=1, 2, ...

(В качестве q₁ можно взять любое простое число, возможность же неограниченного продолжения последовательности {q_n} с соблюдением неравенства (4) гарантирует постулат Бертрана.)

Обозначим для краткости число

где берётся n возведений в степень, через exp₂ⁿα, a обратную функцию,

log₂ log₂ ... log₂ β

— через log ₂ⁿβ.

Попробуем выбрать число μ так, чтобы при n=1, 2, ...

Согласно определению целой части числа равенство (5) эквивалентно неравенству

q_n ≤ exp₂ⁿμ < q_n + 1.

Прологарифмировав его n раз по основанию 2, получим ещё одно двойное неравенство, эквивалентное (5):

Проверьте сами, что из (4) следует

log ₂¹q₁ < log ₂²q₂ < ... < log ₂ⁿq_n < log ₂ⁿ⁺¹q_n+1 < ...
... < log ₂ⁿ⁺¹(q_n+1 + 1) < log ₂ⁿ(q_n + 1) < ... < log ₂²(q₂ + 1) < log ₂¹(q₁ + 1).

Таким образом, последовательность

log ₂¹q₁, log ₂²q₂, ..., log ₂ⁿq_n, ...

строго возрастает и ограничена сверху; следовательно, она имеет предел. Его-то мы и возьмём в качестве числа μ; докажите, что так выбранное μ удовлетворяет даже более сильному, чем (6), неравенству

и, следовательно, равенство (5) справедливо. Теорема Райта доказана.

Основным недостатком формул (2) и (3) является то, что они (точнее, их доказательства) не дают никакого способа находить новые простые числа, ибо чтобы вычислить какое-либо простое число по формулам (2) или (3), нужно числа λ и μ знать с достаточной точностью. Таким образом, формулы (2) и (3) в некотором смысле являются всего лишь замаскированными (и ухудшенными) вариантами формулы (1). Кроме того, вид формул (2) и (3) на самом деле почти ничего не говорит именно о множестве простых чисел. Из доказательства теоремы Райта видно, что формулы, аналогичные (2), (3), можно указать для любого «достаточно густого» множества.

Недостатки формул (2) и (3) порождены тем, что в них входят вещественные числа λ и μ, задаваемые неким косвенным образом. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь формулы, в которые входят только целочисленные коэффициенты. Такие формулы обладают важным преимуществом: они могут быть (в принципе) выписаны явно.