Перевірка гіпотези щодо рівності двох середніх нормальних генеральних сукупностей

Нехай є дві вибіркові сукупності обсягами і , що містять значення випадкових величин та , дисперсії яких невідомі. Необхідно при заданому рівні значущості перевірити нульову гіпотезу про рівність математичних сподівань цих випадкових величин, тобто . В якості альтернативної вибирається гіпотеза .

Розглянемо випадок, коли дисперсії невідомі та однакові (малі незалежні вибірки). Визначимо вибіркові середні і та виправлені вибіркові дисперсії і цих випадкових величин. Їх генеральні дисперсії хоча й невідомі, але вважаються однаковими.

Перевірка основної гіпотези здійснюється за -критерієм. Спостережуване значення критерію обчислюється співвідношенням:

. (13.4)

Воно порівнюється із критичною точкою розподілу Стьюдента для заданого рівня значущості і кількості степенів свободи . Згідно з альтернативною гіпотезою критична область є двосторонньою. Отже, за таблицею визначаємо значення . Якщо , то нульову гіпотезу немає підстав відхилити, отже, за даним рівнем значущості ; якщо , то нульову гіпотезу відхиляють.

Приклад.За двома незалежними вибірками обсягами і , що вилучені з нормально розподілених генеральних сукупностей, знайдені вибіркові середні: , та виправлені дисперсії: і . При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу при конкуруючій гіпотезі .

Розв’язання. Застосування критерію Стьюдента передбачає, що обидві генеральні сукупності мають однакові дисперсії, отже, спочатку за критерієм Фішера необхідно перевірити гіпотезу про рівність генеральних дисперсій . Оскільки величина значно більша за , то конкуруючою вважатимемо гіпотезу , тому критична область є правобічною. При рівні значущості і кількості ступенів вільності і знаходимо критичну точку . Оскільки _, то нульову гіпотезу про рівність генеральних дисперсій немає підстав відхилити.

Оскільки припущення про рівність генеральних дисперсій виконується, то можна порівнювати середні за – критерієм. Обчислимо спостережуване значення критерію за формулою (13.4):

.

За умовою альтернативна гіпотеза має вигляд , тому критична область є двосторонньою. За рівнем значущості 0,05 і кількістю степенів свободи знаходимо точку . Оскільки , то нульову гіпотезу про рівність середніх слід відхилити, оскільки розбіжність між вибірковими середніми є статистично значущою.